Цилиндри́ческие координа́ты, числа $\rho$, $\varphi$ и $z$, связанные с прямоугольными декартовыми координатами $x$, $y$ и $z$ формулами:$$x=\rho \cos \varphi, \quad y=\rho \sin \varphi, \quad z=z,$$где $0 \leqslant \rho<\infty$, $0 \leqslant \varphi<2 \pi$, $-\infty<z<\infty$. Координатные поверхности (см. рисунок):

Координатные поверхности цилиндрической системы координат.Координатные поверхности цилиндрической системы координат.круговые цилиндры ($\rho= \operatorname{const}$), полуплоскости $(\varphi=\operatorname{const})$, плоскости $(z=\operatorname{const} )$. Система цилиндрических координат – ортогональная.

Коэффициенты Ламе:$$L_\rho=L_z=1, \quad L_{\varphi}=\rho.$$Элемент площади поверхности:$$d s=\sqrt{\rho^2(d \rho d \varphi)^2+(d \rho d z)^2+\rho^2(d \varphi d z)^2}.$$Элемент объёма:$$d V=\rho d \rho d \varphi d z.$$Векторные дифференциальные операции:$$\begin{gathered} \operatorname{grad}_\rho f=\frac{\partial f}{\partial \rho},\quad \operatorname{grad}_{\varphi} f=\frac{1}{\rho} \frac{\partial f}{\partial \varphi},\quad \operatorname{grad}_z f=\frac{\partial f}{\partial z} ; \\ \operatorname{div} \boldsymbol{a}=\frac{1}{\rho} a_\rho+\frac{\partial a_\rho}{\partial \rho}+\frac{1}{\rho} \frac{\partial a_{\varphi}}{\partial \varphi}+\frac{\partial a_z}{\partial z} ; \\ \operatorname{rot}_\rho \boldsymbol{a}=\frac{1}{\rho} \frac{\partial a_z}{\partial \varphi}-\frac{\partial a_{\varphi}}{\partial z},\quad \operatorname{rot}_{\varphi} \boldsymbol{a}=\frac{\partial a_\rho}{\partial z}-\frac{\partial a_z}{\partial z} ; \\ \operatorname{rot}_z \boldsymbol{a}=\frac{1}{\rho} a_{\varphi}+\frac{\partial a_{\varphi}}{\partial \rho}-\frac{1}{\rho} \frac{\partial a_\rho}{\partial \varphi} ; \\ \Delta f=\frac{\partial^2 f}{\partial \rho^2}+\frac{1}{\rho} \frac{\partial f}{\partial \rho}+\frac{1}{\rho^2} \frac{\partial^2 f}{\partial \varphi^2}+\frac{\partial^2 \varphi}{\partial z^2} . \end{gathered}$$Обобщёнными цилиндрическими координатами называются числа $u$, $v$ и $w$, связанные с декартовыми прямоугольными координатами $x$, $y$ и $z$ формулами:$$x=a u \cos v, \quad y=b u \sin v,\quad z=c w,$$где $0 \leqslant u<\infty$, $0 \leqslant v<2 \pi$, $-\infty<w<\infty$, $a>0$, $b>0$, $c>0$, $a \neq b$. Координатные поверхности: эллиптические цилиндры $(u= \operatorname{const} )$, полуплоскости $(v= \operatorname{const} )$ и плоскости $(w= \operatorname{const})$.