Теоре́ма Пе́йджа, 1) теорема Пейджа о нулях $L$-функций Дирихле: пусть $L(s, \chi)$ – $L$-функция Дирихле , $s=\sigma+it$, $\chi$ – характер Дирихле по $\operatorname{mod} d$, $d\geqslant3$; существуют абсолютные положительные постоянные $c_{1}, \ldots, c_{8}$ такие, что

а) $L(s, \chi) \neq 0$ при $\sigma>1-c_{1} / \log d t,\quad t \geqslant 3$;

б) $L(s, \chi) \neq 0$ при $\sigma>1-c_{2} / \log d,\quad 0<t<5$;

в) для комплексного $\chi \operatorname{mod} d$,$$L(s, \chi) \neq 0 \text { при } \sigma>1-c_{3} / \log d,\quad|t| \leqslant 5 \text {; }$$г) для действительного примитивного $\chi \operatorname{mod} d$,$$L(\sigma, \chi) \neq 0 \text { при } \sigma>1-c_{4} / \sqrt{d\,} \log ^{2}d ;$$д) для $2<d \leqslant D$ существует не более одного $d=d_{0}$, $d_{0}>c_{5} \log ^{2} D /(\log \log D)^{8}$ и не более одного действительного примитивного $\chi_{1} \operatorname{mod} d_{0}$, для которого $L\left(s, \chi_{1}\right)$ может иметь действительный нуль $\beta_{1}>1-c_{6} / \log D$, причём $\beta_{1}$ является однократным нулём и для всех $\beta$ таких, что $L(\beta, \chi)=0$, $\beta>1-c_{6} / \log D$ с действительным $\chi \operatorname{mod} d$ имеют $d \equiv 0\left(\operatorname{mod} d_{0}\right)$.

2) Теорема Пейджа о $\pi(x ; d, l)$ – числе простых чисел $p \leqslant x$, $p \equiv l(\operatorname{mod} d)$, при $0<l \leqslant d$, $l$ и $d$ – взаимно простых. В обозначениях и при условиях п. 1 вследствие а) – в) и д) справедливо равенство$$\pi(x ; d, l)= \frac{\text { li } x}{\varphi(d)}-E \frac{\chi(l)}{\varphi(d)} \sum_{n \leqslant x} \frac{n^{\beta_{1}-1}}{\log n}+ O\left(x e^{-c_{7} \sqrt{\log x}}\right),$$где $E=1$ или $E=0$, смотря по тому, существует $\beta_{1}$ или нет для данного $d$, и вследствие 2), для любого $d \leqslant(\log x)^{1-\delta}$ при фиксированном $\delta>0$$$\tag{$*$} \pi(x ; d, l)=\frac{\text { li } x}{\varphi(d)}+O\left(x e^{-c_{8} \sqrt{\log x}}\right) .$$Этот результат является единственным (1983), который эффективен в том смысле, что, если значение $\delta$ задано, можно указать численные значения $c_{8}$ и постоянной, входящей в символ $0$. Замена оценки 2) оценкой Зигеля: $L(\sigma, x) \neq 0$ при $\sigma>1-c(\varepsilon) d^{-\varepsilon}$, $\varepsilon>0$ распространяет действие формулы $(*)$ на существенно большие $d$, $d \leqslant(\log x)^{A}$, с любым фиксированным $A$, но при этом утрачивается эффективность оценок в формуле $(*)$ – по заданному $\varepsilon>0$ невозможно оценить $c_{8}=c_{8}(\varepsilon)$ и $O=O_{\varepsilon}$.

Теоремы Пейджа установлены Э. Пейджем (Page. 1935).