Теоре́ма Ха́рди – Ли́тлвуда о неотрица́тельной сумми́руемой фу́нкции, теорема об интегральных свойствах некоторой функции, связанной с данной. Установлена Г. Харди и Дж. Литлвудом (Hardy. 1930). Пусть $f(x)$ неотрицательна и суммируема на $[a, b]$ и пусть

$$\theta(x)=\theta_f(x)=\sup _{\xi \in[a, b], \xi \neq x} \frac{1}{x-\xi} \int_{\xi}^x f(t) d t .$$Тогда:

1) если $f \in L_p(a, b)$, $1<p<\infty$, то

$$\int_a^b \theta^p(x) d x \leqslant 2\left(\frac{p}{p-1}\right)^p \int_a^b f^p(x) d x ;$$2) если $f \in L(a, b)$, то для всех $\alpha \in(0,1)$

$$\int_a^b \theta^\alpha(x) d x \leqslant \frac{2(b-a)^{1-\alpha}}{1-\alpha} \int_a^b f(x) d x ;$$3) если $f(x) \ln ^{+} f(x) \in L(a, b)$, то

$$\int_a^b \theta(x) d x \leqslant 4 \int_a^b f(x) \ln^+f(x) d x+A,$$где $A$ зависит только от $b-a$. Здесь

$$\ln^+u= \begin{cases}0, & u<1, \\ \ln u & u \geqslant 1 .\end{cases}$$Пусть $f(x)$ – периодическая функция с периодом $2 \pi$, суммируемая на $[-\pi, \pi]$, и

$$M(x)=M_f(x)=\sup _{0<|t| \leqslant \pi} \frac{1}{t} \int_x^{x+t}|f(u)| d u .$$Тогда $M_f(x) \leqslant \theta_{| f |}(x)$, где $\theta_{| f |}(x)$ построена для $[-2 \pi, 2 \pi]$. Из теоремы для $\theta(x)$ получаются интегральные неравенства для $M(x)$.