Си́мвол Лежа́ндра, арифметическая функция чисел $p$ и $a$, определённая для простых нечётных $p$ и целых $a$, не делящихся на $p$. Символ Лежандра обозначается $\left(\frac{a}{p}\right)$. Символ Лежандра $\left(\frac{a}{p}\right)=1$, если сравнение $x^2=a(\bmod p)$ разрешимо; в противном же случае $\left(\frac{a}{p}\right)=-1$. Иногда символы Лежандра доопределяют и для чисел $a$, делящихся на $p$, полагая, что в этом случае $\left(\frac{a}{p}\right)=0$. Символ Лежандра обладает следующими свойствами:

1) если $a \equiv b(\bmod p)$, то $\left(\frac{a}{p}\right)=\left(\frac{b}{p}\right)$;

2) $\left(\frac{1}{p}\right)=1$;

3) $\left(\frac{a}{p}\right) \equiv a^{(p-1) / 2}(\bmod p)$;

4) $\left(\frac{a b}{p}\right)= \left(\frac{a}{p}\right) \left(\frac{b}{p}\right)$;

5) $\left(\frac{-1}{p}\right)=(-1)^{(p-1) / 2}$;

6) $\left(\frac{2}{p}\right)=(-1)^{\left(p^2-1\right) / 8}$;

7) если $p$ и $q$ – простые нечётные, то

$$\left(\frac{q}{p}\right)\left(\frac{p}{q}\right)=(-1)^{(p-1) / 2 \cdot(q-1) / 2}.$$Последний факт, впервые доказанный К. Ф. Гауссом (1796), носит название квадратичного закона взаимности. Перечисленные свойства позволяют легко вычислять символы Лежандра, не прибегая к решению сравнений. Например,

$$\begin{gathered} \left(\frac{438}{593}\right)= \left(\frac{2}{593}\right)\left(\frac{3}{593}\right)\left(\frac{73}{593}\right)= \\ =+1\left(\frac{593}{3}\right)\left(\frac{593}{73}\right)= \left(\frac{2}{3}\right)\left(\frac{9}{73}\right)= -1\left(\frac{3}{73}\right)^2=-1. \end{gathered}$$Ещё более облегчает вычисление символов Лежандра использование символа Якоби. При фиксированном $p$ символ Лежандра является действительным характером мультипликативной группы классов вычетов по модулю $p$.

Введён А.-М. Лежандром (1785).