Радиоакти́вное равнове́сие, состояние между членами цепочки радиоактивного распада, при котором соотношение активностей (количеств ядер) последовательных членов цепочки остаётся постоянным. Это состояние не является равновесием в строгом смысле, т. к. радиоактивный распад необратим.

В простейшей цепочке:

$$A\xrightarrow{λ_A}B\xrightarrow{λ_B}C \tag{1}$$нуклиды $A$ и $B$ претерпевают радиоактивный распад с постоянными $λ_A$ и $λ_B$ ($λ_A = \ln 2/T_{1/2,A}$ и $λ_B= \ln 2/T_{1/2,B}$) соответственно, а нуклид $C$ является стабильным. Установление радиоактивного равновесия в ней возможно, если период полураспада материнского радионуклида $A$ ($T_{1/2,A}$) больше периода полураспада дочернего нуклида $B$ ($T_{1/2,B}$). Для количеств ядер нуклидов в такой цепочке можно записать следующую систему дифференциальных уравнений:

$$\frac{dN_A}{dt} =–λ_A N_A, \newline \frac{dN_B}{dt}=λ_A N_A–λ_B N_B,\newline \frac{dN_C}{dt}=λ_B N_B. \tag{2}$$Решая эту систему при $λ_A<λ_B$ и начальных активностях нуклидов $A_A(0)=λ_A·N_{A,0}=A_{A,0}$ и $A_B(0)=λ_B·N_{B,0}=0$, получим:

$$A_A(t)=A_{A,0} e^{–λ_A t}, \tag{3}$$$$A_B (t)=A_{A,0} \frac{λ_B}{λ_B–λ_A}(e^{–λ_A t}–e^{–λ_B t}). \tag{4}$$Для соотношения активностей нуклидов можно записать:

$$\frac{A_B (t)}{A_A (t)} = \frac{λ_B}{λ_B–λ_A}(1–e^{–(λ_B–λ_A )t} ). \tag{5}$$В зависимости от соотношений периодов полураспада материнского ($A$) и дочернего ($B$) нуклидов различают вековое и подвижное равновесие.

Вековое равновесие

Вековое равновесие возможно в случае, когда период полураспада материнского нуклида существенно больше (на несколько порядков) периода полураспада дочернего. В этом случае выражение для активности дочернего нуклида (4) при малых временах ($t \sim T_{1/2,B}$) можно упростить:

$$A_B (t)=A_{A,0} (1–e^{–λ_B t} ). \tag{6}$$Активность дочернего нуклида достаточно быстро приближается к активности материнского, которая остаётся практически неизменной. На практике активности можно считать равными ($A_B=A_A$) уже после 10 периодов полураспада дочернего нуклида, когда различия между ними составляют меньше 0,1 %. На больших временах ($t\sim T_{1/2,A}$) активности обоих нуклидов уменьшаются в соответствии с кинетикой (3), определяемой постоянной распада материнского нуклида.

Подвижное равновесие

Подвижное равновесие возможно при относительно небольших различиях в периодах полураспада материнского и дочернего нуклидов. Значение экспоненты в выражении для соотношения активностей нуклидов (5) достаточно быстро устремляется к 0, а соотношение $A_B/A_A$ становится практически постоянным:

$$\frac{A_B (t)}{A_A (t)} =\frac{λ_B}{λ_B-λ_A}. \tag{7}$$После достижения подвижного равновесия активности материнского и дочернего нуклида меняются синхронно. Это изменение определяется постоянной распада материнского нуклида и происходит в соответствии с уравнением (3). В отличие от векового равновесия, в данном случае изменения активности нуклидов значимы на временах порядка периода полураспада дочернего ($t \sim T_{1/2,B}$).

До достижения равновесия активность дочернего нуклида возрастает, проходит через максимум и далее убывает. Время ($t_{max}$) достижения этой активности можно найти из следующего соотношения:

$$t_{max⁡} = \frac{ \ln ⁡(\frac{λ_B}{λ_A})}{(λ_B–λ_A )}. \tag{8}$$Существуют и более длинные цепочки радиоактивного распада. Для количеств ядер k-го нуклида в цепочке из n членов можно записать:

$$\frac{dN_1}{dt } =–λ_1N_1, \newline \frac{dN_k}{dt}=λ_{k–1}N_{k–1}–λ_kN_k, \newline \frac{dN_n}{dt}=λ_{n–1}N_{n–1}. \tag{9}$$Впервые аналитическое решение приведённой системы дифференциальных уравнений было получено английским математиком Г. Бейтменом в 1910 г. Выражение для количества ядер k-го члена цепочки можно записать следующим образом:

$$N_k(t)=N_1(0) ( \prod\nolimits^{k-1}_{i=1} \lambda_i ) \sum\nolimits_{i=1}^{k} \frac{e^{–\lambda_it}}{\prod\nolimits^{k}_{j=1, j \neq i}( \lambda_j– \lambda_i)}. \tag{10}$$В подобных цепочках также возможно установление радиоактивного равновесия. Так, в естественных радиоактивных рядах (²³²Th, ²³⁵U, ²³⁸U) период полураспада родоначальника существенно больше периода полураспада любого из остальных членов ряда, поэтому во всей цепочке устанавливается вековое равновесие. В результате в природе присутствуют даже короткоживущие члены рядов.