Протоко́л Пре́скилла – Ха́йдена, в квантовой теории информации метод моделирования объекта, размывающего информацию, – чёрной дыры, изучения динамики квантовой информации в ней и кодирования/декодирования данной информации (Hayden. 2007). Несмотря на то что изначально исследование данного круга вопросов лежало в области физики чёрных дыр, оно дало важный импульс для многих важных задач по динамике квантовой информации и её кодированию в системах, подверженных взаимодействию со скрамблером (устройством, размывающим информацию).

Формулировка с точки зрения чёрных дыр

Исходно в протоколе Прескилла – Хайдена имеется система, состоящая из чёрной дыры $B$ и её излучения $B_0.$ Пусть у отправителя – Алисы есть сообщение $A$ (которое обычно представлено системой кубитов), а также эталонная система $R,$ являющаяся максимально запутанной с $A.$ Также постулируется существование Боба – наблюдателя, у которого есть доступ к излучению на различных этапах: $B_0$ – раннему изучению и $D$ – позднему.

Чёрные дыры, согласно различным работам (Page. 1993), меняют свои свойства при прохождении т. н. времени Пейджа $t_P$ (равного половине энтропии чёрной дыры). Чёрная дыра предполагается «старой» (т. е. рассматривается после времени Пейджа), а значит, она максимально запутана со своим излучением $B_0,$ т. е. чёрная дыра уже излучила половину своих поглощённых кубитов. В этот момент сообщение $A$ бросается в чёрную дыру. Чёрная дыра $B$ максимально запутана с эталонной системой $R$ и $B_0,$ а весь процесс поглощения сообщения $A$ и последующего излучения (т. е. внутреннюю динамику чёрной дыры) можно смоделировать с помощью эволюции случайным унитарным оператором $U.$

Через некоторое время под действием такого оператора чёрная дыра $B$ эволюционирует в систему, состоящую из позднего излучения $D$ и остаточной чёрной дыры $C.$ Можно показать, что как только $D$ станет достаточно большим, корреляции между чёрной дырой $B$ и эталонной системой $R$ исчезнут, а также, поскольку общее состояние является чистым, эталонная система $R$ очищается (англ. purifies) системой излучения $B_0$ и $D.$

Одним из основных результатов, полученных в оригинальной работе (Hayden. 2007), является тот факт, что информация сообщения $A$ может быть извлечена из декодирования излучения Хокинга, более того, было показано, что наблюдатель Боб способен восстановить информацию, содержавшуюся в сообщении, собрав лишь на малое количество больше излучаемых кубитов, чем те, что содержатся в сообщении $A.$ Этот результат указывает на то, что старые чёрные дыры, которые уже прошли половину пути испарения, выделяют поглощённую квантовую информацию в виде излучения Хокинга практически мгновенно.

Формулировка с точки зрения квантовой информации

Хотя изначально проблема декодировки и сам протокол Прескилла – Хайдена возникли в связи с рассмотрением квантовых аспектов физики чёрных дыр, их можно строго сформулировать, используя язык квантовой теории информации (Yoshida. 2021).

Протокол Прескилла – Хайдена можно понимать как задачу на применение квантовых кодов исправления ошибок с использованием запутанности. В таких кодах отправитель и получатель априори делят некоторое количество кубитов, находящихся в (максимально) запутанном состоянии. Также предполагается, что кубиты на стороне получателя считаются свободными от ошибок. Ошибки типа «стирания» действуют на остаточную чёрную дыру $C$ на стороне отправителя, в то время как кубиты отправляются на $D$ (позднее излучение) получателю. В целом структура предполагаемых кодов, исправляющих ошибки указанного типа, не требует наличия максимальной запутанности.

Более формально, на языке квантовых кодов, исправляющих ошибки, протокол Прескилла – Хайдена формулируется следующим образом. Пусть неизвестное входное квантовое состояние $|\psi\rangle_A$ (которое отождествляется с сообщением, падающим в чёрную дыру) принадлежит гильбертову пространству, состоящему из $n_A$ кубитов. Кроме того, в гильбертовом пространстве, соответствующем $B$ и $B_0,$ существуют $n_B$ копий составного состояния, называемого ЭПР-парой (см. Парадокс Эйнштейна – Подольского – Розена). Данное состояние задаётся формулой $$|\mathrm{ЭПР}\rangle_{B B_0}=\frac{1}{\sqrt{d_B}} \sum_{j=1}^{d_B}|j\rangle_B \otimes|j\rangle_ {B_0}, \quad d_B=2^{n_B},$$где каждый из $B$ и $B_0$ состоят из $n_B$ кубитов. Следовательно, начальное состояние исследуемой системы определяется выражением $|\psi\rangle_A \otimes|\mathrm{ЭПР}\rangle_{B B_0}.$

Система эволюционирует под действием унитарного оператора $U,$ который нетривиально действует только на $A, B.$ Результат временно́й эволюции можно обозначить в виде $$U_{A B} \otimes I_{B_0}\left(|\psi\rangle_A \otimes|\mathrm{ЭПР}\rangle_{B B_0}\right),$$где временна́я эволюция тривиально действует на $B_0.$ На поздних временах общее гильбертово пространство разбивается на две подсистемы $C, D,$ т. е. $$\mathcal{H}=\mathcal{H}_A \otimes \mathcal{H}_B=\mathcal{H}_C \otimes \mathcal{H}_D.$$

Здесь $A, B, C, D$ состоят соответственно из $n_A,$ $n_B,$ $n_C,$ $n_D$ кубитов с $n=n_A+n_B=n_C+n_D,$ а $\mathcal{H}_A \otimes \mathcal{H} _B=\mathcal{H}_C \otimes \mathcal{H}_D$ представляют одно и то же гильбертово пространство с разными разбиениями на $A, B$ и $C, D$ соответственно. В этих разбиениях случайный унитарный оператор временной эволюции действует следующим образом: $$U: \mathcal{H}_A \otimes \mathcal{H}_B \rightarrow \mathcal{H}_C \otimes \mathcal{H}_D.$$

Задача протокола Прескилла – Хайдена формулируется тогда следующим образом: можно ли восстановить входное состояние $|\psi\rangle_A,$ имея доступ к $D$ и $B_0.$ Приведённую выше временну́ю эволюцию можно интерпретировать как квантовый код исправления ошибок с изометрией $\Gamma:$$$\Gamma\left(|\psi\rangle_A\right) \equiv U_{A B} \otimes I_{B_0}\left(|\psi\rangle_A \otimes|\mathrm{ЭПР}\rangle_{B B_0}\right), \quad \Gamma: \mathcal{H}_A \rightarrow \mathcal{H}_C \otimes \mathcal{H}_D \otimes \mathcal{H}_{B_0}.$$

В этом случае проблема восстановления информации с помощью протокола Прескилла – Хайдена идентична проблеме квантового кода исправления ошибок, который проходит канал стирания, удаляющий кубиты из $C,$ а полный (зашумленный) квантовый канал $\mathcal{N}$ можно определить как $$\mathcal{N}\left(\sigma_A\right)=\operatorname{Tr}_C\left(\Gamma\left(\sigma_A\right)\right) \quad \mathcal{N}: \mathcal{H}_A \rightarrow \mathcal{H}_D \otimes \mathcal{H}_{B_0}.$$