Пробле́ма Ми́лна, проблема теории переноса излучения о решении односкоростного кинетического уравнения переноса квантов или частиц для полупространства. Впервые интегральное уравнение проблемы Милна с источником на бесконечности при нулевом потоке падающего извне излучения было выведено Э. Милном (Milne. 1921) для случая изотропного рассеяния квантов, распространяющихся без поглощения в звёздной атмосфере.

Уравнение Милна имеет вид$$\tag{1} B(x) = \frac{1}{2}\int_0^\infty B(t)E_1(|x-t|)dt.$$Здесь $B (x)$ – плотность излучения (или частиц),$$E_1(x) = \int_0^1\frac{e^{-x/\mu}}{\mu}d\mu$$– интегро-показательная функция $[E_1(x)=-\operatorname{Ei} (-x)]$.

В нейтронной физике проблема Милна используется для постановки приближённых граничных условий при решении уравнений диффузионного приближения в ограниченной области; при этом учитываются захват нейтронов в среде, анизотропия рассеяния и кривизна границы.

Здесь проблема Милна состоит в решении интегро-дифференциального уравнения$$\mu \frac{\partial\psi}{\partial x} + \psi (x, \mu) = \frac{c}{2}\int_{-1}^{+1}p(\mu, \mu^\prime) \psi(x, \mu^\prime)d\mu^\prime$$с краевым условием на границе полупространства, заполненного веществом, с вакуумом$$\tag{2} \psi(0, \mu) = 0 \quad \textit{для} \quad 0 < \mu \leqslant 1,$$где $c$ есть среднее число вторичных нейтронов, приходящееся на одно соударение с ядром $(c < 1$ в рассеивающем и поглощающем нейтроны веществе$)$, $p(\mu, \mu^\prime)$ – индикатриса рассеяния $[p(\mu, \mu^\prime)=1$ при изотропном рассеянии]. Аналогично ставится сферическая или цилиндрическая проблема Милна о распределении нейтронов в пространстве вне поглощающей сферы или цилиндра.

Решение проблемы Милна удобно проводить, применяя преобразование Лапласа к интегро-дифференциальному уравнению переноса (см. Снеддон. 1955) и используя для решения получающихся функциональных уравнений метод Винера – Хопфа.

Для решения проблемы Милна было предложено использовать разложение по обобщённым собственным функциям и методы решения сингулярных интегральных уравнений (см. Кейз. 1972). Решение проблемы Милна при $p(\mu, \mu^\prime)=1$, $c < 1$ ищется в виде$$\psi(x,\mu)=\psi_{0-}(x, \mu) + a_{0+}\psi_{0+}(x, \mu) + \int_0^1A(\nu)\psi_\nu(x, \mu)d\nu,$$где$$\begin{array}{c} \psi_\nu(x, \mu) = \varphi_\nu(\mu) e^{-x/\nu}, \\ \varphi_\nu(\mu) = (c\nu/2) P \frac{1}{\nu-\mu} + \lambda(\nu) \delta(\nu-\mu) \end{array}$$– собственные функции непрерывного спектра, $P$ – символ главного значения по Коши, $\delta(\nu-\mu)$ есть $\delta$-функция Дирака,$$\lambda(\nu) = 1 - \nu c \operatorname{Arth} \nu, \quad \psi_{0\pm} = \varphi_{0\pm}(\mu) e^{\mp x/\nu_0}.$$Дискретные собственные значения $\pm\nu_0$ суть корни характеристического уравнения$$\nu c \operatorname{Arth} \frac{1}{\nu} = 1,$$собственные функции дискретного спектра имеют вид$$\varphi_{0\pm}(\mu) = \pm \left(\frac{c\nu_0}{2}\right) \frac{1}{\pm\nu_0-\mu}.$$Система собственных функций $\varphi_{0+}(\mu)$ и $\varphi_\nu(\mu)$, $0\leqslant \nu \leqslant 1$, оказывается полной в пространстве обобщённых функций на отрезке $0\leqslant \mu \leqslant 1$ и ортогональной с весом $W(\mu)$, который находится как решение сингулярного интегрального уравнения (см. Кейз. 1972).

Граничное условие $(2)$ проблемы Милна даёт $(\mu \geqslant 0)$:$$-\varphi_{0-}(\mu) = a_{0+}\varphi_{0+}(\mu) + \int_0^1A(\nu)\varphi_\nu(\mu)d\nu,$$т. е. $a_{0+}$ и $A (\nu)$ определяются как коэффициенты разложения функции$$\varphi_{0-}(\mu) = (c\nu_0 / 2) \frac{1}{\nu_0 + \mu}.$$Асимптотическая плотность нейтронов$$\begin{array}{cc} B_{ac}(x) = 2\pi\displaystyle\int_{-1}^{+1} [\psi_{0-}(x, \mu) + a_{0+}\psi_{0+}(x, \mu)]d\mu = \\ = 4\pi e^{-x_0/\nu_0}\operatorname{sh}\frac{x+x_0}{\nu_0} \end{array}$$обращается в нуль при$$x =-x_0 = (\nu_0/2)(\ln{a_{0+}} -i\pi).$$Для $c=1$ $p(\mu, \mu^\prime) = 1$, постоянная Хопфа $x_0=0,710446$.