Полугруппа идемпотентов
Полугру́ппа идемпоте́нтов (идемпотентная полугруппа), полугруппа, каждый элемент которой есть идемпотент. Полугруппа идемпотентов называется также связкой (это согласуется с понятием связки полугрупп: полугруппа идемпотентов есть связка одноэлементных полугрупп). Коммутативная полугруппа идемпотентов называется полуструктурой, или полурешёткой; этот термин согласуется с его употреблением в теории частично упорядоченных множеств: если коммутативную полугруппу идемпотентов рассмотреть относительно естественного частичного порядка, то будет наибольшей нижней гранью элементов . Всякая полурешётка есть подпрямое произведение двухэлементных полурешёток. Полугруппа называется сингулярной, если удовлетворяет одному из тождеств в первом случае называется левосингулярной, или полугруппой левых нулей, во втором – правосингулярной, или полугруппой правых нулей.
Полугруппа называется прямоугольной, если она удовлетворяет тождеству (этот термин используется иногда и в более широком смысле, см. Клиффорд. 1972).
Следующие условия для полугруппы эквивалентны:
1) прямоугольна;
2) есть идеально простая полугруппа идемпотентов;
3) есть вполне простая полугруппа идемпотентов;
4) изоморфна прямому произведению , где – левосингулярная, a – правосингулярная полугруппа.
Всякая полугруппа идемпотентов является клиффордовой полугруппой и разлагается в полурешётку прямоугольных полугрупп. Это разложение служит исходным пунктом при изучении многих свойств полугруппы идемпотентов. Любая полугруппа идемпотентов локально конечна.
Полугруппы идемпотентов изучались с разных точек зрения, в том числе с точки зрения теории многообразий. Решётка всех подмногообразий многообразия всех полугрупп идемпотентов
полностью описана в (Бирюков. 1970; Gerhard. 1970; Fennemore. 1971); она счётна и дистрибутивна, каждое подмногообразие её может быть задано внутри одним тождеством. Диаграмму этой решётки см. на рисунке; там же указаны тождества, задающие в многообразия из нескольких нижних «этажей».