Ме́тод расщепле́ния, сеточный метод решения нестационарных задач со многими пространственными переменными, в котором переход от заданного временного слоя $t_n$ к новому слою $t_{n+1}\equiv t_n+\tau$ осуществляется за счёт последовательного решения сеточных аналогов родственных нестационарных задач с меньшим числом пространственных переменных (см. Марчук. 2009; Самарский. 1989; Яненко. 1967; Дьяконов. 1971–1972).

Часто в этом классе методов могут быть найдены такие, что 1) весь переход от сеточного слоя в момент времени $t_n$ к новому сеточному слою $t=t_{n+1}$ является достаточно простым и может быть осуществлён при затрате $O (N)$ арифметических действий, где $N$ – число узлов пространственной сетки; 2) гарантируется абсолютная устойчивость метода; 3) гарантируется наличие приемлемой точности метода (наличие аппроксимации в том или ином смысле). Методы расщепления довольно широко применяются при практическом решении многомерных задач математической физики, связанных, например, с линейными и нелинейными системами параболического, гиперболического или смешанного типа (см. Марчук. 2009; Самарский. 1989; Яненко. 1967; Дьяконов. 1971–1972; Ковеня. 1981; Дрыя. 1978; Злотник. 1980; Hayes. 1981).

Обычно для задачи с $p$ пространственными переменными переход от $t_n$ к $t_{n+1}$ в методе расщепления производится с использованием $p$ вспомогательных (дробных) шагов:$$\tag{1} A_s^{(n)}u^{n+s/p}=B_s^{(n)}(u^n, u^{n+1/p},\dots,n^{n+(s-1)/p}),$$где$$u ^ {n} \equiv \ u (t _ {n}),\ \ u ^ {n + k/p } \equiv u (t _ {n + 1 }),$$$A_s^{(n)}$ – матрица, соответствующая разностной аппроксимации некоторого дифференциального оператора, содержащего производные только по $x_s$ (одномерного дифференциального оператора), а правые части $(1)$ легко вычислимы. При соответствующей нумерации неизвестных, связанной с выбором направления $x_s$, матрицы $A_s^{(n)}$ становятся обычно диагональными и решение систем $(1)$ при каждом $s$ сводится к многократному решению одномерных разностных систем по направлению $x_s$. Поэтому часто метод расщепления называется также или методом переменных направлений, или методом дробных шагов.

Одним из типичных примеров в случае уравнения$$\frac{\partial u }{\partial t } = \ \frac{\partial ^ {2} u }{\partial x _ {1} ^ {2} } + \frac{\partial ^ {2} u }{\partial x _ {2} ^ {2} } + f,\quad (x _ {1} , x _ {2}) \in \Omega ,$$с начальным условием $u \big| _ {t = 0 } = \varphi (x _ {1} , x _ {2})$ и краевым условием $u \big| _ \Gamma = \psi (x _ {1} , x _ {2} , t)$, где $\Omega \equiv (0, 1) \times (0, 1)$, $\Gamma$ – граница $\Omega$, может служить следующий метод, построенный на квадратной сетке с шагом $h$:$$\tag{2} \left. \begin{array}{c} \frac{u _ {i} ^ {n + 1/2 }-u _ {i} ^ {n} }{\tau /2 } + [ \Lambda _ {1} (\sigma u ^ {n + 1/2 } + (1-\sigma) u ^ {n})] _ {i} = f _ {i} ^ { n + 1/2 } ,\quad \overline{x}_ {i} \in \Omega _ {n} ; \\ \\ u _ {i} ^ {n + 1/2 } = \psi _ {i} ^ {n + 1/2 } \ \ \textit{при}\ \ \overline{x}_ {i} \in \Gamma, \quad u _ {i} ^ {n + 1 } = \psi _ {i} ^ {n + 1 } \quad \textit{при}\quad \overline{x}_ {i} \in \Gamma ; \\ \\ \frac{u _ {i} ^ {n + 1 }-u _ {i} ^ {n + 1/2 } }{\tau /2 } + [ \Lambda _ {2} (\sigma u ^ {n + 1 } + (1-\sigma) u ^ {n + 1/2 })] _ {i} = \ f _ {i} ^ { n + 1/2 } ,\quad \overline{x} _ {i} \in \Omega _ {n} , \end{array} \right\}$$где $i \equiv (i _ {1} , i _ {2})$, $\overline{x} _ {i} \equiv (i _ {i} h, i _ {2} h)$, $u _ {i} ^ {n} \equiv u (n \tau , \overline{x} _ {i})$, $\psi _ {i} ^ {n + 1/2 } \equiv \psi ((n + 1/2) \tau , \overline{x} _ {i})$, $\Lambda _ {1}$ и $\Lambda _ {2}$ – простейшие разностные аппроксимации для $\frac{\partial ^ {2} } {\partial x _ {1} ^ {2} }$ и $\frac{\partial ^ {2} } {\partial x _ {2} ^ {2} }$, $\Omega _ {n}$ – совокупность внутренних узлов $\overline{x} _ {i}$, $\sigma \geqslant 1/2$.

Имеются два альтернативных подхода к теории методов расщепления. В одном из них промежуточные шаги ни в чём существенном не отличаются от целых шагов, и сами разностные уравнения на дробных шагах и граничные условия для них, подобно методу $(2)$, устроены одинаково, и можно ожидать, что $u^n$ и $u^{n+1/2}$ будут служить аппроксимациями для решения исходной задачи в моменты времени $t_n$ и $t _ {n + 1/2 } \equiv t _ {n} + \tau /2$. Этот подход основан на использовании понятия составной схемы и суммарной аппроксимации (см. Самарский. 1989). Схемы такого типа часто называются локальноодномерными схемами, или аддитивными схемами; их можно также трактовать как обычные разностные схемы для некоторого уравнения с сильно осциллирующими по времени коэффициентами, решение которого должно быть близко к решению исходной задачи (см. Марчук. 2009; Самарский. 1989; Яненко. 1967; Дьяконов. 1971–1972). Достоинства этого подхода в его простоте и общности, например обобщения метода $(2)$ возможны и для случая криволинейных областей $\Omega$ и более общих задач. Точность же получаемых на этом пути методов обычно не очень высока. Известны и иногда успешно применяются варианты методов расщепления, в которых расщепление производится не по пространственным переменным, а по физическим процессам (см. Ковеня. 1981).

Второй подход в плане анализа устойчивости и сходимости исключает какие-либо дробные шаги из рассмотрения. Сама разностная схема и аппроксимация трактуются традиционным образом. Необычность разностной схемы проявляется лишь в том, что на верхнем слое схемы появляется необычный разностный оператор. Например, вместо метода $(2)$ рассматривается метод$$\tag{3} \begin{array}{c} \left (A \left ( { \frac{u ^ {n + 1 } - u ^ {n} } \tau } \right) \right) _ {i} + (\Lambda _ {1} u ^ {n}) _ {i} + (\Lambda _ {2} u ^ {n}) _ {i} = \ f _ {i} ^ { n + 1/2 } ,\\ \\ \overline{x}_ {i} \in \Omega _ {n} ,\quad u _ {i} ^ {n} = \psi _ {i} ^ {n} \quad \textit{ при } \quad \overline{x} _ {i} \in \Gamma , \end{array}$$где $A \equiv (E + \sigma \tau \Lambda _ {1}) (E + \sigma \tau \Lambda _ {2})$, $E$ – тождественный оператор. Такие операторы $A$ обычно называются расщепляющимися, или факторизованными, операторами. Дробные шаги связываются лишь с методом решения возникающих систем и для одной и той же схемы $(3)$ могут быть введены различными способами, граничные условия для них должны выбираться в зависимости от этого. Сами схемы типа $(3)$ можно трактовать как обычные схемы с весом для $\varepsilon$-уравнения, например, вида$$\frac{\partial u }{\partial t }-\frac{\partial ^ {2} u }{\partial x _ {1} ^ {2} }-\frac{\partial ^ {2} u }{\partial x _ {2} ^ {2} } + \varepsilon \frac{\partial ^ {5} u }{\partial x _ {1} ^ {2} \partial x _ {2} ^ {2} \partial t } = f,\quad \varepsilon > 0,$$решения которого отличаются от решения исходной задачи на $O (\varepsilon)$ (см. Дьяконов. 1971–1972). В случае области $\Omega$, составленной из прямоугольников, матрицы возникающих систем в методах типа $(3)$ уже не представимы в виде произведения «одномерных» матриц. Все же решения подобных систем могут быть найдены при затрате $O (N)$ арифметических действий (см. Дьяконов. 1971–1972), операторы подобного типа называются расширенно расщепляющимися операторами. При исследовании устойчивости и сходимости схем с расщепляющимися и расширенно расщепляющимися операторами большую роль играет метод энергетических неравенств (см. Самарский. 1989; Дьяконов. 1971–1972; Дрыя. 1978; Злотник. 1980; Hayes. 1981).