Ме́тод Лапла́са асимптотических оценок, метод вычисления асимптотики при $\lambda>0$, $\lambda \rightarrow+\infty$ интегралов Лапласа$$\tag{1} F(\lambda)=\int_{\Omega} f(x) e^{\lambda S(x)} d x,$$где $\Omega=[a, b]$ – конечный отрезок, $S$ – действительная, $f$ – комплексная функции, достаточно гладкие при $x \in \Omega$. Асимптотика $F(\lambda)$ равна сумме вкладов от точек, в которых достигается $\underset{{x \in \Omega}}{\max} \,S(x)$, если число их конечно.

1) Если максимум достигается при $x=a$ и $S^{\prime}(a) \neq 0$, то вклад $V_a(\lambda)$ от точки $a$ в асимптотику интеграла $(1)$ равен

$$V_a(\lambda)=-\frac{f(a)+O(\lambda-1)}{\lambda S^{\prime}(a)} e^{\lambda S(a)} .$$2) Если максимум достигается во внутренней точке $x^0$ отрезка $\Omega$ и $S^{\prime \prime}\left(x^0\right) \neq 0$, то вклад от неё равен

$$V_{x^0}(\lambda)=\sqrt{-\frac{2 \pi}{\lambda S^{\prime \prime}\left(x^0\right)}}\left[f\left(x^0\right)+O(\lambda-1)\right] e^{\lambda S\left(x^0\right)} .$$Эта формула получена П.-С. Лапласом (Laplace. 1886). Полностью исследован случай, когда функции $f(x)$, $S^{\prime}(x)$ имеют нули конечной кратности в точках максимума функции $S$, и получены асимптотическими разложения (см. Эрдейи. 1962; Брёйн. 1961; Евграфов. 1962; Копсон. 1966; Olver. 1974; Риекстыньш. 1974; Федорюк. 1977). Метод Лапласа распространяется и на случай контура $\Omega$, расположенного на комплексной плоскости (см. в статье Метод перевала).

Пусть $\Omega$ – ограниченная область в $\mathbb{R}_x^n$, наибольшее значение функции $S(x)$ в замыкании $\Omega$ достигается только во внутренней точке $x^0$, и $x^0$ – невырожденная стационарная точка функции $S$. Тогда

$$F(\lambda)=\left(\frac{2 \pi}{\lambda}\right)^{n / 2}\left|\operatorname{det} S_{x x}^{\prime \prime}\left(x^0\right)\right|^{-1 / 2}\left[f\left(x^0\right)+O(\lambda^{-1})\right] e^{\lambda S\left(x^0\right)} .$$В этом случае также получены асимптотические разложения для $F(\lambda)$. Все приведённые выше формулы справедливы при комплексных $\lambda$, $|\lambda| \rightarrow \infty$, $\mid \operatorname{arg} \lambda \mid \leqslant \pi / 2-\varepsilon$. Имеются также модификации метода Лапласа на случай более сложной зависимости от параметра (см. Евграфов. 1962, Федорюк. 1977):

$$F(\lambda)=\int_{\Omega(\lambda)} f(x, \lambda) e^{S(x, \lambda)} d x .$$