Условная вероятность

Усло́вная вероя́тность, (1) события относительно события, характеристика связи двух событий. Если ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ – события и ${\displaystyle P(B)>0}$, то условная вероятность ${\displaystyle P(A\mid B)}$ события ${\displaystyle A}$ относительно (или при условии ) ${\displaystyle B}$ определяется равенством

${\displaystyle P(A\mid B)={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}}$.

Условная вероятность ${\displaystyle P(A\mid B)}$ может рассматриваться как вероятность осуществления события ${\displaystyle A}$ при условии, что событие ${\displaystyle B}$ осуществилось. Для независимых событий ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ условная вероятность ${\displaystyle P(A\mid B)}$ совпадает с безусловной вероятностью ${\displaystyle P(A)}$.

Связь условных и безусловных вероятностей событий описывается формулой Бейеса и формулой полной вероятности.

(2) Условная вероятность события ${\displaystyle A}$ относительно ${\displaystyle \sigma }$-алгебры ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$, случайная величина ${\displaystyle P(A\mid {\mathfrak {B}})}$, измеримая относительно ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$, для которой

${\displaystyle \int _{B}P(A\mid {\mathfrak {B}})P(d\omega )=P(A\cap B)}$

при любом ${\displaystyle B\in {\mathfrak {B}}}$. Условная вероятность относительно ${\displaystyle \sigma }$-алгебры определяется с точностью до эквивалентности.

Если ${\displaystyle \sigma }$-алгебра ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ порождена счётным числом непересекающихся событий ${\displaystyle B_{1},B_{2},\ldots ,}$ имеющих положительные вероятности и в сумме составляющих всё пространство ${\displaystyle \Omega }$, то

${\displaystyle P(A\mid {\mathfrak {B}})=P\left(A\mid B_{k}\right)\quad {\text{при}}\quad \omega \in B_{k},\quad k=1,2,\ldots }$

Условная вероятность события ${\displaystyle A}$ относительно ${\displaystyle \sigma }$-алгебры ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ может быть определена как условное математическое ожидание ${\displaystyle \mathrm {E} \left(I_{A}\mid {\mathfrak {B}}\right)}$ индикатора ${\displaystyle A}$.

Пусть ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mathrm {P} )}$ – вероятностное пространство, ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ – под-${\displaystyle \sigma }$-алгебра ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$. Условная вероятность ${\displaystyle P(A\mid {\mathfrak {R}})}$ называется регулярной, если существует функция ${\displaystyle p(\omega ,A)}$, ${\displaystyle \omega \in \Omega }$, ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$, такая, что

a) при фиксированном ${\displaystyle \omega }$ функция ${\displaystyle p(\omega ,A)}$ является вероятностью на ${\displaystyle \sigma }$-алгебре ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$,

б) ${\displaystyle P(A\mid {\mathfrak {B}})=p(\omega ,A)}$ с вероятностью единица.

Для регулярных условных вероятностей условные математические ожидания выражаются интегралами с условными вероятностями в качестве мер. Условная вероятность относительно случайной величины ${\displaystyle X}$ определяется как условная вероятность относительно ${\displaystyle \sigma }$-алгебры, порождённой ${\displaystyle X}$.