Формула Д'Аламбера

Фо́рмула Д'Аламбе́ра, формула, выражающая решение задачи Коши для волнового уравнения с одной пространственной переменной. Пусть заданные функции $\varphi(x)$, $\psi(x)$ принадлежат соответственно пространствам $C^{2}(-\infty,-\infty)$ и $C^{{1}}(-\infty,+\infty)$, a $f(t, x)$ непрерывна вместе с первой производной по $x$ в полуплоскости $\{t \geqslant 0,\,-\infty<x<+\infty\}$. Тогда классическое решение $u(t, x)$ в $\{t>0,\,-\infty<x<\infty\}$ задачи Коши$$\begin{aligned}&\frac{\partial^{2} u(t, x)}{\partial t^{2}}-a^{2} \frac{\partial^{2} u(t, x)}{\partial x^{2}}=f(t, x), \\ &\left.u(t, x)\right|_{t=0}=\varphi(x),\quad \left.\frac{\partial u(t, x)}{\partial t}\right|_{t=0}=\psi(x), \end{aligned}$$выражается формулой Д'Аламбера:$$\begin{aligned} u(t, x)&=\frac{1}{2 a} \int_{0}^{t} \int_{x-a(t-\tau)}^{x+a(t-\tau)} f(\tau, \xi)\, d \xi\, d \tau+{} \\ &\qquad{}+\frac{1}{2 a} \int_{x-a t}^{x+a t} \psi(\xi)\, d \xi +\frac{1}{2}[\varphi(x+a t)+\varphi(x-a t)]. \end{aligned}$$Формула названа по имени Ж. Л. Д'Аламбера (J. D'Alembert, 1747).