Функция Ляпунова

Фу́нкция Ляпуно́ва, функция, определяемая следующим образом. Пусть ${\displaystyle x_{0}}$ – неподвижная точка системы дифференциальных уравнений

${\displaystyle {\dot {x}}=f(x,t)}$

(т. е. ${\displaystyle f(x_{0},t)\equiv 0}$), где отображение ${\displaystyle {\ce {f(x,t):U\times \mathbb {R} _{+}->\mathbb {R} ^{n}}}}$ непрерывно и непрерывно дифференцируемо по ${\displaystyle x}$ (здесь ${\displaystyle U}$ – некоторая окрестность точки ${\displaystyle x_{0}}$ в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$); в координатах эта система записывается в виде

${\displaystyle {\dot {x}}^{i}=f^{i}\left(x^{1},\ldots ,x^{n},t\right),\quad i=1,\ldots ,n}$.

Функцией Ляпунова называется дифференцируемая функция ${\displaystyle {\ce {V(x):U->\mathbb {R} }}}$, обладающая свойствами:

1) ${\displaystyle V(x)>0}$ при ${\displaystyle x\neq x_{0}}$;

2) ${\displaystyle V\left(x_{0}\right)=0}$;

3) ${\displaystyle \displaystyle 0\geqslant {\frac {dV(x)}{dx}}f(x,t)=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial \mathrm {V} \left(x^{1},\ldots ,x^{n}\right)}{\partial x^{i}}}f^{i}\left(x^{1},\ldots ,x^{n},t\right)}$.

Функция ${\displaystyle V(x)}$ введена в 1892 г. А. М. Ляпуновым (1956). Имеет место лемма Ляпунова: если функция Ляпунова существует, то неподвижная точка устойчива по Ляпунову. На этой лемме основан один из методов исследования устойчивости (т. н. второй метод Ляпунова).