Формула Кристоффеля – Дарбу

Фо́рмула Кристо́ффеля – Дарбу́ для многочленов ${\displaystyle \left\{P_{n}(x)\right\}}$, ортонормированных с интегральным весом ${\displaystyle d\sigma (x)}$ на некотором интервале ${\displaystyle (a,b)}$, – формула вида

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}P_{k}(x)P_{k}(t)={\frac {\mu _{n}}{\mu _{n+1}}}{\frac {P_{n+1}(x)P_{n}(t)-P_{n}(x)P_{n+1}(t)}{x-t}}}$,

где ${\displaystyle \mu _{n}}$ – старший коэффициент многочлена ${\displaystyle P_{n}(x)}$. Формула Кристоффеля – Дарбу применяется при исследовании условий сходимости рядов Фурье по ортогональным многочленам в отдельной точке. Формула Кристоффеля – Дарбу в случае, когда ${\displaystyle \sigma (x)}$– ступенчатая функция, была опубликована в 1855 г. П. Л. Чебышёвым (1947). Затем Э. Кристоффель (1858) установил её для многочленов Лежандра, а Г. Дарбу (1878) распространил эту формулу на общий случай произвольного веса.