Факторкатегория

Факторкатего́рия, конструкция, аналогичная конструкции фактормножества или факторалгебры. Пусть ${\displaystyle {\mathfrak {K}}}$ – произвольная категория, и в классе морфизмов ${\displaystyle \operatorname {Mor} {\mathfrak {K}}}$ задано отношение эквивалентности ${\displaystyle \sim }$, удовлетворяющее следующим условиям: 1) если ${\displaystyle \alpha \sim \beta }$, то начала и концы морфизмов ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$ совпадают; 2) если ${\displaystyle \alpha \sim \beta }$, ${\displaystyle \gamma \sim \delta }$ и произведение ${\displaystyle \alpha \gamma }$ определено, то ${\displaystyle \alpha \gamma \sim \beta \delta }$. Через ${\displaystyle [\alpha ]}$ обозначается класс эквивалентности морфизма ${\displaystyle \alpha }$. Факторкатегорией категории ${\displaystyle {\mathfrak {K}}}$ по отношению ${\displaystyle \sim }$ называется категория (обозначаемая ${\displaystyle {\mathfrak {K}}/\sim }$), у которой те же объекты, что и у ${\displaystyle {\mathfrak {K}}}$, а для любой пары объектов ${\displaystyle A,B}$ множество морфизмов ${\displaystyle H(A,B)}$ в ${\displaystyle {\mathfrak {K}}/\sim }$ состоит из классов эквивалентности ${\displaystyle [\alpha ]}$, где ${\displaystyle {{\ce {\alpha: A -> B}}}}$ в ${\displaystyle {\mathfrak {K}}}$; умножение морфизмов ${\displaystyle [\alpha ]}$ и ${\displaystyle [\beta ]}$ определяется формулой ${\displaystyle [\alpha ][\beta ]=[\alpha \beta ]}$ (когда произведение ${\displaystyle \alpha \beta }$ определено).

Всякая малая категория является факторкатегорией категории путей над подходящим ориентированным графом.