Уравнение Дуффинга

Уравне́ние Ду́ффинга (осциллятор Дуффинга), обыкновенное дифференциальное уравнение ${\displaystyle 2}$-го порядка

${\displaystyle x''+kx'+\omega _{0}^{2}x+\alpha x^{3}=F\cos {\omega t},}$ (*)

где ${\displaystyle k>0}$, ${\displaystyle \omega _{0}}$, ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle F}$, ${\displaystyle \omega }$ – постоянные. Это уравнение представляет собой важный пример системы (с одной степенью свободы) с нелинейной восстанавливающей силой ${\displaystyle f(x)=-\omega _{0}^{2}x-\alpha x^{3}}$ и затуханием, совершающей вынужденные колебания при гармоническом внешнем воздействии ${\displaystyle F(t)=F\cos {\omega t}}$. При ${\displaystyle \alpha >0}$ говорят о жёсткой упругой силе, а при ${\displaystyle \alpha <0}$ – о мягкой. Впервые исследование решений уравнения (*) предпринял Г. Дуффинг (Duffing. 1918^[1]).

Решения уравнения Дуффинга в замкнутой форме получить не удаётся. Доказано, что оно имеет большое число разнообразных периодических решений. В уравнении (*) возможны гармонические колебания ${\displaystyle x=A\cos {\omega t}}$ с амплитудой ${\displaystyle A=A(\omega )}$, которая является функцией частоты (амплитудная кривая); для некоторых значений частоты ${\displaystyle \omega }$ могут иметь место несколько видов колебаний, отличающихся по амплитуде. При определённых условиях в уравнении Дуффинга возникают субгармонические колебания с частотами ${\displaystyle \omega /n}$, где ${\displaystyle n}$ – целое число. Для изучения решений уравнения (*) часто применяются методы малого параметра.