Уравнение Винера – Хопфа

Уравне́ние Ви́нера – Хо́пфа, интегральное уравнение на полупрямой с ядром, зависящим от разности аргументов:

${\displaystyle u(x)-\int _{0}^{\infty }k(x-s)u(s)\,ds=f(x),\quad 0\leqslant x<\infty .}$ (1)

Уравнения такого типа часто возникают в задачах математической физики, например, в теории переноса излучения (проблема Милна), в теории дифракции (дифракция на полуплоскости, задача береговой рефракции).

Впервые исследования уравнения ${\displaystyle (1)}$ были проведены в работах Винера Н., Хопфа Э. (^[1]) и Хопфа Э. (^[2]), где был развит метод факторизации. Именно идея факторизации явилась решающей для построения теории интегральных уравнений вида ${\displaystyle (1)}$. Уравнения Винера – Хопфа в предположении чётности и экспоненциального убывания ядра ${\displaystyle k(x)}$ рассматривались в статье Фока В. А. (1944).

Формальная схема решения уравнения Винера – Хопфа состоит в следующем. Пусть

${\displaystyle v(x)={\begin{cases}u(x)&{\text{ при }}x>0,\\0&{\text{ при }}x<0,\end{cases}}}$

${\displaystyle n(x)={\begin{cases}\quad 0&{\text{ при }}x<0,\\-\int \limits _{0}^{\infty }k(x-s)u(s)ds&{\text{ при }}x<0,\end{cases}}}$

тогда уравнение ${\displaystyle (1)}$ можно записать на всей бесконечной прямой:

${\displaystyle \displaystyle v(x)-\int _{-\infty }^{\infty }k(x-s)v(x)\,ds=f(x)+n(x),\quad -\infty <x<\infty }$ (2)

Если выполнены условия, при которых существует преобразование Фурье всех функций, входящих в уравнение ${\displaystyle (2)}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}V(\lambda )=\int _{0}^{\infty }u(x)e^{i\lambda x}\,dx,\\K(\lambda )=\int _{-\infty }^{\infty }k(x)e^{i\lambda x}\,dx,\\F(\lambda )=\int _{0}^{\infty }f(x)e^{i\lambda x}\,dx,\\N(\lambda )=\int _{-\infty }^{0}n(x)e^{i\lambda x}\,dx,\end{aligned}}}$

то с помощью преобразования Фурье уравнение ${\displaystyle (2)}$ сводится к функциональному уравнению

${\displaystyle [1-K(\lambda )]V(\lambda )=F(\lambda )+N(\lambda ),}$ (3)

где ${\displaystyle V(\lambda )}$ и ${\displaystyle N(\lambda )}$ – неизвестные функции. Метод Винера – Хопфа позволяет решить уравнение ${\displaystyle (3)}$ для определённого класса функций. При этом обязательно должно выполняться условие: ${\displaystyle 1-K(\lambda )\neq 0}$. Для несимметричного ядра в теории уравнения ${\displaystyle (1)}$ особую роль играет индекс уравнения:

${\displaystyle \nu =-\operatorname {ind} [1-K(\lambda )]=-{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }d_{\lambda }[1-K(\lambda )].}$ (4)

Если ${\displaystyle K(x)\in L_{1}(-\infty ,\infty )}$ и ${\displaystyle 1-K(\lambda )\neq 0}$, то: при ${\displaystyle \nu =0}$ неоднородное уравнение ${\displaystyle (1)}$ имеет единственное решение; при ${\displaystyle \nu >0}$ однородное уравнение ${\displaystyle (1)}$ имеет ${\displaystyle \nu }$ линейно независимых решений; при ${\displaystyle \nu <0}$ неоднородное уравнение ${\displaystyle (1)}$ либо не имеет решения, либо имеет единственное решение при условии:

${\displaystyle \displaystyle \int _{0}^{\infty }f(x)\psi _{k}(x)\,dx=0,\quad k=0,1,\dots ,\mid \nu \mid -1}$,

где ${\displaystyle \psi _{k}(x)}$ – линейно независимые решения транспонированного однородного уравнения ${\displaystyle (1)}$

${\displaystyle \displaystyle \psi (x)-\int _{0}^{\infty }k(x-s)\psi (s)\,ds=0}$.