Уравнение Бернулли (в математике)

Уравне́ние Берну́лли, обыкновенное дифференциальное уравнение 1-го порядка

${\displaystyle a_{0}(x)y^{\prime }+a_{1}(x)y=f(x)y^{\alpha }}$,

где ${\displaystyle \alpha }$ – действительное число, не равное нулю и единице. Это уравнение впервые было рассмотрено Я. Бернулли (1695). Подстановкой ${\displaystyle y^{1-\alpha }=z}$ уравнение Бернулли приводится к линейному неоднородному уравнению 1-го порядка (см. Камке Э. 1976^[1]). Если ${\displaystyle \alpha >0}$, то уравнение Бернулли имеет решение ${\displaystyle y\equiv 0}$; при ${\displaystyle 0<\alpha <1}$ в точках этого решения нарушается единственность. Уравнение вида

${\displaystyle \left[f(y)x+g(y)x^{\alpha }\right]y^{\prime }=h(y),\quad \alpha \neq 0,\quad \alpha \neq 1}$,

также есть уравнение Бернулли, если рассматривать ${\displaystyle y}$ как независимую переменную, а ${\displaystyle x}$ – как неизвестную функцию от ${\displaystyle y}$.