Убывающая функция

Убыва́ющая фу́нкция, такая функция ${\displaystyle f(x)}$, определённая на некотором числовом множестве ${\displaystyle E}$, что из условия

${\displaystyle x^{\prime }<x^{\prime \prime },\quad x^{\prime },\,x^{\prime \prime }\in E}$,

следует

${\displaystyle f(x^{\prime })>f(x^{\prime \prime })}$.

Иногда такие функции называются строго убывающими, а термин «убывающая функция» применяется к функциям, удовлетворяющим для указанных ${\displaystyle x^{\prime }}$, ${\displaystyle x^{\prime \prime }}$ лишь условию ${\displaystyle f(x^{\prime })\geqslant f(x^{\prime \prime })}$ (невозрастающая функция). У всякой строго убывающей функции обратная функция является однозначной и также строго убывающей. Если ${\displaystyle x_{0}}$ – правосторонняя (соответственно левосторонняя) предельная точка множества ${\displaystyle E}$, ${\displaystyle f(x)}$ – невозрастающая функция и множество ${\displaystyle \left\{y:y=f(x),x>x_{0},x\in E\right\}}$ ограничено сверху (соответственно ${\displaystyle \left\{y:y=f(x),x<x_{0},x\in E\right\}}$ ограничено снизу), то при ${\displaystyle x\to x_{0}+0}$ (соответственно ${\displaystyle x\to x_{0}-0}$), ${\displaystyle x\in E}$, у функции ${\displaystyle f(x)}$ существует конечный предел; если же указанное множество не ограничено сверху (соответственно снизу), то ${\displaystyle f(x)}$ имеет бесконечный предел, равный ${\displaystyle +\infty }$ (соответственно ${\displaystyle -\infty }$).