Теорема синусов

Теоре́ма си́нусов, теорема геометрии, утверждающая, что стороны треугольника пропорциональны синусам противоположных углов:

${\displaystyle \displaystyle {\frac {a}{\sin {A}}}={\frac {b}{\sin {B}}}={\frac {c}{\sin {C}}}}$,

где ${\displaystyle a,b,c}$ – стороны треугольника, ${\displaystyle A,B,C}$ – противолежащие им углы треугольника (рис. 1).

Из теоремы синусов следует, что в треугольнике против большего угла лежит бóльшая сторона, а против большей стороны лежит больший угол.

Расширенная теорема синусов: отношение стороны треугольника к синусу противоположного угла есть величина постоянная, равная диаметру ${\displaystyle 2R}$ окружности, описанной около треугольника (рис. 2):

${\displaystyle \displaystyle {\frac {a}{\sin {A}}}={\frac {b}{\sin {B}}}={\frac {c}{\sin {C}}}=2R}$.

Из расширенной теоремы синусов следует, что гипотенуза прямоугольного треугольника является диаметром описанной окружности (рис. 3).

Теорема синусов позволяет по заданным стороне ${\displaystyle a}$ и углам ${\displaystyle A,B,C}$ треугольника найти другие его стороны:

${\displaystyle \displaystyle b=a\,{\frac {\sin {B}}{\sin {A}}},\qquad c=a\,{\frac {\sin {C}}{\sin {A}}}}$.