Теорема косинусов

Теоре́ма ко́синусов, теорема геометрии, утверждающая, что в любом треугольнике квадрат стороны равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:

${\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos {A}}$.

Здесь ${\displaystyle a,b,c}$ – стороны треугольника, ${\displaystyle A}$ – угол между сторонами ${\displaystyle b}$ и ${\displaystyle c}$ (рис.).

Теорема косинусов позволяет по заданным трём сторонам ${\displaystyle a,b,c}$ треугольника найти косинус любого из трёх углов ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$:

${\displaystyle \cos {A}={\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}},\quad \cos {B}={\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}},\quad \cos {C}={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}}$.

Теорема Пифагора является следствием теоремы косинусов для прямого угла ${\displaystyle A}$:

${\displaystyle A={\frac {\pi }{2}}\implies \ a^{2}=b^{2}+c^{2}}$.