Род поверхности

Род пове́рхности, численный бирациональный инвариант двумерного алгебраического многообразия, определённого над алгебраически замкнутым полем ${\displaystyle k}$. Различают два рода – арифметический и геометрический. Геометрический род ${\displaystyle p_{g}}$ полной гладкой алгебраической поверхности ${\displaystyle X}$ равен

${\displaystyle p_{g}=\operatorname {dim} _{k}H^{0}\left(X,\Omega _{X}^{2}\right)}$

размерности пространства регулярных дифференциальных ${\displaystyle 2}$-форм на ${\displaystyle X}$. Арифметический род ${\displaystyle p_{a}}$ полной гладкой алгебраической поверхности ${\displaystyle X}$ равен

${\displaystyle p_{a}=\chi \left(X,O_{X}\right)-1=\operatorname {dim} _{k}H^{2}\left(X,O_{X}\right)-\operatorname {dim} _{k}H^{1}\left(X,O_{X}\right)}$.

Геометрический и арифметический роды полной гладкой алгебраической поверхности ${\displaystyle X}$ связаны соотношением ${\displaystyle p_{g}-p_{a}=q}$, где ${\displaystyle q}$ – иррегулярность поверхности ${\displaystyle X}$, равная размерности пространства регулярных дифференциальных ${\displaystyle 1}$-форм на ${\displaystyle X}$.