Решето Сельберга

Решето́ Се́льберга (метод Сельберга), специальный и в то же время достаточно универсальный метод решета, созданный А. Сельбергом (^[1]). Решето Сельберга позволяет хорошо оценивать сверху просеивающую функцию ${\displaystyle S(A;P,z)}$, обозначающую количество элементов конечного множества ${\displaystyle A}$ целых чисел, которые не делятся на простые числа ${\displaystyle p<z}$ и принадлежат некоторому множеству ${\displaystyle P}$ простых чисел.

Пусть ${\displaystyle P(z)=\prod _{p<z;p\in P}p}$. Метод Сельберга основан на очевидном неравенстве

${\displaystyle S(A;P,z)\leqslant \sum _{a\in A}\left(\sum _{d\mid a;d\mid P(z)}\lambda _{d}\right)^{2},}$ (*)

которое верно при ${\displaystyle \lambda _{1}=1}$ для произвольных действительных чисел ${\displaystyle \lambda _{d}(d\geqslant 2)}$. Идея Сельберга состоит в том, чтобы, положив ${\displaystyle \lambda _{d}=0}$ для ${\displaystyle d\geqslant z}$, минимизировать правую часть неравенства (*) путём надлежащего выбора оставшихся чисел ${\displaystyle \lambda _{d}}$ ${\displaystyle (2\leqslant d<z)}$.

В комбинации с другими методами решета решето Сельберга позволяет получать оценки снизу, особенно сильные при использовании весовых функций.