Распределение Лапласа

Распределе́ние Лапла́са (двустороннее показательное распределение), распределение вероятностей случайной величины ${\displaystyle X}$, заданное плотностью вероятности

${\displaystyle p(x,\alpha ,\beta )={\frac {1}{2}}\alpha e^{-\alpha \mid x-\beta \mid },\quad -\infty <t<+\infty }$,

где ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$, ${\displaystyle \alpha >0,{\text{ }}-\infty <\beta <\infty }$, – параметры. Распределение Лапласа симметрично относительно точки ${\displaystyle x=\beta }$, имеет конечные моменты любого порядка, в частности его математическое ожидание и дисперсия равны ${\displaystyle \mathrm {E} X=\beta }$ и ${\displaystyle \mathrm {D} X=1/\alpha }$ , его характеристическая функция равна

${\displaystyle e^{it\beta }{\Big (}1+{\dfrac {t^{2}}{\alpha ^{2}}}{\Big )}^{-1},{\text{ }}-\infty <t<+\infty }$.

Распределение Лапласа совпадает с распределением случайной величины ${\displaystyle \beta +X_{1}-X_{2}}$, где ${\displaystyle X_{1}}$ и ${\displaystyle X_{2}}$ – независимые случайные величины, имеющие одинаковое показательное распределение с плотностью, равной 0 при ${\displaystyle x\leqslant 0}$ и равной ${\displaystyle \alpha e^{-\alpha x}}$ при ${\displaystyle x>0}$.

Распределение Лапласа введено П.-С. Лапласом (1812) и иногда называется первым законом Лапласа, в отличие от второго закона, которым иногда называют нормальное распределение.