Различающий элемент

Различа́ющий элеме́нт в ${\displaystyle K}$-теории, элемент группы ${\displaystyle K(X,A)}$ [где ${\displaystyle (X,A)}$ – пара пространств, при этом обычно ${\displaystyle X}$ считается конечным клеточным пространством и ${\displaystyle A}$ – его клеточным подпространством], строящийся по тройке ${\displaystyle (\xi ,\eta ,\zeta ),}$ где ${\displaystyle \xi }$ и ${\displaystyle \eta }$ – векторные расслоения одной и той же размерности над ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle \zeta \colon \xi |_{A}\rightarrow \eta |_{A}}$ – изоморфизм векторных расслоений (здесь ${\displaystyle \sigma |_{A}}$ – часть векторного расслоения ${\displaystyle \sigma }$ над ${\displaystyle X,}$ расположенная над подпространством ${\displaystyle A}$). Построение различающего элемента осуществляется следующим образом. Пусть сначала расслоение ${\displaystyle \eta }$ тривиально и фиксирована какая-нибудь тривиализация расслоения ${\displaystyle \eta }$ над ${\displaystyle X}$. Тогда ${\displaystyle \zeta }$ задаёт тривиализацию расслоения ${\displaystyle \xi |_{A}}$ и, значит, задаёт элемент группы ${\displaystyle {\widetilde {K}}(X/A)=K(X,A)}$. Этот элемент не зависит от выбора тривиализации расслоения ${\displaystyle \eta }$ над всем ${\displaystyle X}$. В общем случае подбирается такое расслоение ${\displaystyle \sigma }$ над ${\displaystyle X,}$ что расслоение ${\displaystyle \eta \bigoplus \sigma }$ тривиально и тройке ${\displaystyle (\xi ,\eta ,\zeta )}$ сопоставляется тот же элемент, что и тройке ${\displaystyle (\xi \oplus \sigma ,\eta \bigoplus \sigma ,\zeta \oplus \operatorname {id} \sigma )}$.