Пятый постулат Евклида

Пя́тый постула́т Евкли́да, аксиома параллельности евклидовой геометрии: через точку ${\displaystyle P}$ вне прямой ${\displaystyle AB}$ в плоскости, проходящей через ${\displaystyle P}$ и ${\displaystyle AB}$, можно провести лишь одну прямую, не пересекающую ${\displaystyle AB}$. В ««Началах» Евклида 5-й постулат приведён в другой формулировке. Комментаторы Евклида предполагали, что это предложение можно доказать, опираясь на остальные аксиомы. Попытки доказательства были ещё в Древней Греции. Они продолжались на средневековом Востоке (например, Омар Хайям), а затем в Западной Европе (например, И. Г. Ламберт в 1766, А.-М. Лежандр в 1800). Если не говорить о прямых логических ошибках, то обычно неявно (а иногда и с отчётливым пониманием) вводилось предположение, не выводимое из других аксиом, которое оказывалось, таким образом, эквивалентным 5-му постулату. Решение проблемы 5-го постулата (точнее, её снятие) было получено после создания Н. И. Лобачевским в 1826 г. геометрии, отрицающей 5-й постулат. Из непротиворечивости геометрии Лобачевского следует независимость 5-го постулата от других аксиом евклидовой геометрии.