Псевдосфера

Псевдосфе́ра, поверхность постоянной отрицательной кривизны, образованная вращением трактрисы вокруг её асимптоты. Линейный элемент в полугеодезических координатах имеет вид (линия ${\displaystyle u=0}$ – геодезическая):

${\displaystyle ds^{2}=du^{2}+\operatorname {ch} ^{2}{\frac {u}{a}}dv^{2},\quad a={\rm {const}}}$;

в изотермических координатах:

${\displaystyle ds^{2}=a^{2}{\frac {dx^{2}+dy^{2}}{y^{2}}},\quad a={\rm {const}}}$.

Всякая поверхность постоянной отрицательной кривизны наложима на псевдосферу. Внутренняя геометрия псевдосферы локально совпадает с геометрией Лобачевского (см. Интерпретация Бельтрами).