Полугеодезические координаты

Полугеодези́ческие координа́ты (геодезические нормальные координаты), координаты ${\displaystyle x^{1},\ldots ,x^{n}}$ в ${\displaystyle n}$-мерном римановом пространстве, характеризующиеся тем, что координатные линии, соответствующие ${\displaystyle x^{1}}$, являются геодезическими линиями, на которых ${\displaystyle x^{1}}$ играет роль нормального параметра, а координатные поверхности ${\displaystyle x^{1}=\operatorname {const} }$ – ортогональны этим геодезическим. В полугеодезических координатах квадрат линейного элемента имеет вид

${\displaystyle ds^{2}=\left(dx^{1}\right)^{2}+\sum _{i,j=2}^{n}g_{ij}\,dx^{i}\,dx^{j}}$.

Полугеодезические координаты можно ввести в достаточно малой окрестности любой точки произвольного риманова пространства. В двумерных римановых пространствах в ряде случаев (например, для регулярных поверхностей строго отрицательной кривизны) возможно введение полугеодезических координат в целом.

В двумерном случае квадрат линейного элемента в полугеодезических координатах принято записывать в виде

${\displaystyle ds^{2}=du^{2}+B^{2}(u,v)dv^{2}}$.

Полная (гауссова) кривизна может быть найдена по формуле:

${\displaystyle K=-{\frac {1}{B}}{\frac {\partial ^{2}B}{\partial u^{2}}}}$.

При изучении двумерных римановых многообразий знакоопределённой кривизны важную роль играют специальные полугеодезические координаты – геодезические полярные координаты ${\displaystyle (r,\varphi )}$. В этом случае все координатные геодезические линии ${\displaystyle \varphi =\operatorname {const} }$ пересекаются в одной точке (полюсе), а ${\displaystyle \varphi }$ является углом между координатными линиями ${\displaystyle v=0}$ и ${\displaystyle \varphi =\operatorname {const} }$. Линия ${\displaystyle r=\operatorname {const} }$ называется геодезической окружностью. Квадрат линейного элемента в окрестности полюса в геодезических полярных координатах имеет вид

${\displaystyle ds^{2}=dr^{2}+r^{2}\left\{1-{\frac {K_{0}}{3}}r^{2}-\right.}$
${\displaystyle \left.-{\frac {1}{6}}\left(K_{1}\cos \varphi +K_{2}\sin \varphi \right)r^{3}+o\left(r^{3}\right)\right\}d\varphi ^{2},}$

где ${\displaystyle K_{0}}$ – полная (гауссова) кривизна в точке ${\displaystyle P}$, ${\displaystyle K_{1}}$ – производная от ${\displaystyle K}$ по ${\displaystyle r}$ в точке ${\displaystyle P}$ в направлении геодезической ${\displaystyle \varphi =0}$, ${\displaystyle K_{2}}$ – такая же производная в направлении геодезической ${\displaystyle \varphi =\pi /2}$.

При определении полугеодезических координат в псевдоримановом пространстве часто требуется, чтобы геодезические, соответствующие ${\displaystyle x^{1}}$, не были изотропными. В этом случае квадрат линейного элемента имеет вид

${\displaystyle ds^{2}=\pm \left(dx^{1}\right)^{2}+\sum _{i,j=2}^{n}g_{ij}\,dx^{i}\,dx^{j}}$

(знак ${\displaystyle +}$ или ${\displaystyle -}$ выбирается в зависимости от знака квадрата интервала касательного вектора к линии ${\displaystyle x^{1}}$).