Признак Куммера

При́знак Ку́ммера, общий признак сходимости рядов с положительными членами, предложенный Э. Э. Куммером. Пусть дан ряд

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}=a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n}+\ldots }$ (*)

и ${\displaystyle c_{1},c_{2},\ldots ,c_{n},\ldots }$ – произвольная последовательность положительных чисел такая, что ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{c_{n}}}}$ расходится. Если для ${\displaystyle n>N}$ выполняется неравенство

${\displaystyle K_{n}\equiv c_{n}{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-c_{n+1}\geqslant \delta }$,

где ${\displaystyle \delta }$ – постоянное положительное число, то ряд (*) сходится. Если ${\displaystyle K_{n}\leqslant 0}$ для ${\displaystyle n>N}$, то ряд (*) расходится.

В предельной форме признак Куммера формулируется следующим образом: пусть

${\displaystyle {\ce {\lim _{n->\infty }K_{n}=K}}}$,

тогда при ${\displaystyle K>0}$ ряд (*) сходится, при ${\displaystyle K<0}$ – расходится.