Предельная точка траектории

Преде́льная то́чка траекто́рии ${\displaystyle \left\{f^{t}x\right\}}$ динамической системы ${\displaystyle f^{t}}$, точка

${\displaystyle x_{\alpha }=\lim _{k\rightarrow \infty }f^{t_{k}}x}$ (1)

(${\displaystyle \alpha }$-предельная точка) или

${\displaystyle x_{\omega }=\lim _{k\rightarrow \infty }f^{t_{k}}x}$ (2)

(${\displaystyle \omega }$-предельная точка), где ${\displaystyle \left\{t_{k}\right\}}$, ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$, – последовательность такая, что ${\displaystyle t_{k}\rightarrow -\infty }$ при ${\displaystyle k\rightarrow \infty }$ в (1) или ${\displaystyle t_{k}\rightarrow +\infty }$ при ${\displaystyle k\rightarrow \infty }$ в (2) и пределы (1) или (2) существуют.

Для траектории ${\displaystyle \left\{f^{t}x\right\}}$ динамической системы ${\displaystyle f^{t}}$ [или, иначе, ${\displaystyle f(t,x)}$; см. Немыцкий, Степанов. 1949^[1]] ${\displaystyle \alpha }$-предельная точка (${\displaystyle \omega }$-предельная точка) – то же, что ${\displaystyle \omega }$-предельная точка (${\displaystyle \alpha }$-предельная точка) траектории ${\displaystyle \left\{f^{-t}x\right\}}$ динамической системы ${\displaystyle f^{-t}}$ (системы с обращением времени). Множество ${\displaystyle \Omega _{x}\left({A}_{x}\right)}$ всех ${\displaystyle \omega }$-предельных точек (${\displaystyle \alpha }$-предельных точек) траектории ${\displaystyle \left\{f^{t}x\right\}}$ называется ${\displaystyle \omega }$-предельным (${\displaystyle \alpha }$-предельным) множеством этой траектории.