Правильные многогранники

Пра́вильные многогра́нники (тела Платона), выпуклые многогранники, все грани которых суть одинаковые правильные многоугольники и все многогранные углы при вершинах правильные и равные (рис. 1a–1д).

В евклидовом пространстве ${\displaystyle E^{3}}$ существуют 5 правильных многогранников, данные о которых приведены в таблице 1, где символ Шлефли ${\displaystyle \{p,q\}}$ (см. Группа многогранника) обозначает правильный многогранник с ${\displaystyle p}$-угольными гранями и ${\displaystyle q}$-гранными углами.

Таблица 1. Правильные (выпуклые) многогранники в ${\displaystyle E^{3}}$

	Рис.	Символ Шлефли	Число вершин	Число рёбер	Число граней
Тетраэдр	1а	${\displaystyle \{3,3\}}$	${\displaystyle 4}$	${\displaystyle 6}$	${\displaystyle 4}$
Куб (гексаэдр)	1б	${\displaystyle \{4,3\}}$	${\displaystyle 8}$	${\displaystyle 12}$	${\displaystyle 6}$
Октаэдр	1в	${\displaystyle \{3,4\}}$	${\displaystyle 6}$	${\displaystyle 12}$	${\displaystyle 8}$
Додекаэдр	1г	${\displaystyle \{5,3\}}$	${\displaystyle 20}$	${\displaystyle 30}$	${\displaystyle 12}$
Икосаэдр	1д	${\displaystyle \{3,5\}}$	${\displaystyle 12}$	${\displaystyle 30}$	${\displaystyle 20}$

Двойственными многогранниками ${\displaystyle \{p,q\}}$ и ${\displaystyle \{q,p\}}$ называются такие, которые переходят друг в друга при полярном преобразовании относительно вписанной или описанной сферы. Тетраэдр двойствен сам себе, гексаэдр – октаэдру и додекаэдр – икосаэдру.

В пространстве ${\displaystyle E^{4}}$ существуют 6 правильных многогранников, данные о которых приведены в таблице 2.

Таблица 2. Правильные многогранники в ${\displaystyle E^{4}}$

	Символ Шлефли	Число вершин	Число рёбер	Число двумерных граней	Число трёхмерных граней
Симплекс	${\displaystyle \{3,3,3\}}$	${\displaystyle 5}$	${\displaystyle 10}$	${\displaystyle 10}$	${\displaystyle 5}$
Гиперкуб	${\displaystyle \{4,3,3\}}$	${\displaystyle 16}$	${\displaystyle 32}$	${\displaystyle 24}$	${\displaystyle 8}$
16-гранник	${\displaystyle \{3,3,4\}}$	${\displaystyle 8}$	${\displaystyle 24}$	${\displaystyle 32}$	${\displaystyle 16}$
24-гранник	${\displaystyle \{3,4,3\}}$	${\displaystyle 24}$	${\displaystyle 96}$	${\displaystyle 96}$	${\displaystyle 24}$
120-гранник	${\displaystyle \{5,3,3\}}$	${\displaystyle 600}$	${\displaystyle 1200}$	${\displaystyle 720}$	${\displaystyle 120}$
600-гранник	${\displaystyle \{3,3,5\}}$	${\displaystyle 120}$	${\displaystyle 720}$	${\displaystyle 1200}$	${\displaystyle 600}$

В пространстве ${\displaystyle E^{n}}$, ${\displaystyle n>4}$, существуют 3 правильных многогранника – аналоги тетраэдра, октаэдра и куба; их символы Шлефли – ${\displaystyle \{3,\dots ,3\}}$, ${\displaystyle \{4,3,\dots ,3\}}$, ${\displaystyle \{3,\dots ,3,4\}}$.

Если под многоугольником понимать плоские замкнутые ломаные (хотя бы и самопересекающиеся), то можно указать еще ${\displaystyle 4}$ невыпуклых (звёздчатых) правильных многогранника (тела Пуансо). В этих многогранниках либо грани пересекают друг друга, либо грани – самопересекающиеся многоугольники (рис. 2а–2г).

Данные о них приведены в таблице 3.

Таблица 3. Правильные (невыпуклые) многогранники в ${\displaystyle E^{3}}$

	Рис.	Число вершин	Число рёбер	Число граней
Малый звёздчатый додекаэдр	2а	${\displaystyle 12}$	${\displaystyle 30}$	${\displaystyle 12}$
Большой звёздчатый додекаэдр	2б	${\displaystyle 20}$	${\displaystyle 30}$	${\displaystyle 12}$
Большой додекаэдр	2в	${\displaystyle 12}$	${\displaystyle 30}$	${\displaystyle 12}$
Звёздчатый икосаэдр	2г	${\displaystyle 12}$	${\displaystyle 30}$	${\displaystyle 20}$