Подгруппа Бореля

Подгру́ппа Боре́ля (борелевская подгруппа), максимальная связная разрешимая алгебраическая подгруппа линейной алгебраической группы ${\displaystyle G}$. Haпpимер, подгруппа всех невырожденных верхнетреугольных матриц является подгруппой Бореля в полной линейной группе ${\displaystyle GL(n)}$. Систематическое исследование максимальных связных разрешимых подгрупп алгебраических групп впервые проведено А. Борелем (Borel. 1956^[1]). Подгруппа Бореля может быть эквивалентным образом определена как минимальный элемент множества параболических подгрупп, т. е. таких алгебраических подгрупп ${\displaystyle H}$ группы ${\displaystyle G}$, для которых фактормногообразие ${\displaystyle G/H}$ проективно. Bсе подгруппы Бореля группы ${\displaystyle G}$ сопряжены, причём если подгруппы Бореля ${\displaystyle B_{1},B_{2}}$ и rpуппа ${\displaystyle G}$ определены над полем ${\displaystyle k}$, то ${\displaystyle B_{1}}$ и ${\displaystyle B_{2}}$ сопряжены посредством элемента из ${\displaystyle G_{k}}$. Пересечение любых двух подгрупп Бореля группы ${\displaystyle G}$ содержит максимальный тор группы ${\displaystyle G}$; если это пересечение есть в точности максимальный тор, то такие подгруппы Бореля называются противоположными. Противоположные подгруппы Бореля существуют в ${\displaystyle G}$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle G}$ – peдуктивная группа. Если ${\displaystyle G}$ связна, то объединение всех её подгрупп Бореля совпадает с ней самой и всякая параболическая подгруппа совпадает со своим нормализатором в ${\displaystyle G}$. В этом случае подгруппа Бореля является максимальной среди всех (а не только алгебраических и связных) разрешимых подгрупп группы ${\displaystyle G}$. Однако, вообще говоря, могут существовать максимальные разрешимые подгруппы в ${\displaystyle G}$, не являющиеся подгруппами Бореля. Коммутант подгруппы Бореля ${\displaystyle B}$ coвпадает c её унипотентной частью ${\displaystyle B_{u}}$, а нормализатор ${\displaystyle B_{u}}$ в ${\displaystyle G}$ совпадает с ${\displaystyle B}$. Если характеристика основного поля равна ${\displaystyle 0}$, а ${\displaystyle {\mathfrak {G}}}$ есть алгебра Ли группы ${\displaystyle G}$, то подалгебра ${\displaystyle {\mathfrak {C}}}$ алгебры ${\displaystyle {\mathfrak {G}}}$, являющаяся алгеброй Ли подгруппы Бореля ${\displaystyle B}$ группы ${\displaystyle G}$, часто называется подалгеброй Бореля (или борелевской подалгеброй) в ${\displaystyle {\mathfrak {G}}}$. Подалгебры Бореля в алгебре ${\displaystyle {\mathfrak {G}}}$ – это в точности её максимальные разрешимые подалгебры. Для ${\displaystyle k}$-определённой алгебраической группы ${\displaystyle G}$ над произвольным полем ${\displaystyle k}$ обобщением подгруппы Бореля над ${\displaystyle k}$ являются минимальные параболические ${\displaystyle k}$-определённые подгруппы, которые сопряжены посредством элементов из ${\displaystyle G_{k}}$ (Борель. 1967).