Перемешивание (в динамической системе)

Переме́шивание (в динамической системе), свойство динамической системы (каскада ${\displaystyle \left\{S^{n}\right\}}$ или потока ${\displaystyle \left\{S_{t}\right\}}$) с конечной инвариантной мерой ${\displaystyle \mu }$, состоящее в том, что для любых двух измеримых подмножеств ${\displaystyle A,B}$ фазового пространства ${\displaystyle W}$ мера

${\displaystyle \mu \left(\left(S^{n}\right)^{-1}A\cap B\right)}$,

соответственно

${\displaystyle \mu \left(\left(S_{t}\right)^{-1}A\cap B\right)}$,

стремится к

${\displaystyle \mu (A)\mu (B)/\mu (W)}$

при ${\displaystyle {\ce {n->\infty }}}$, соответственно при ${\displaystyle {\ce {t->\infty }}}$. Если преобразования ${\displaystyle S,S_{t}}$ обратимы, то в определении перемешивания вместо прообразов множества ${\displaystyle A}$ относительно этих преобразований можно брать образы ${\displaystyle S^{n}A}$, ${\displaystyle S_{t}A}$, что более наглядно. При наличии свойства перемешивания говорят также, что система перемешивает, а в случае перемешивающего каскада ${\displaystyle \left\{S^{n}\right\}}$ о порождающем его эндоморфизме ${\displaystyle S}$ пространства с мерой ${\displaystyle (W,\mu )}$ тоже говорят, что ${\displaystyle S}$ перемешивает (обладает свойством перемешивания; впрочем, в последнем случае под перемешиванием часто понимают не свойство объекта, а сам этот объект, т. е. ${\displaystyle S}$).

В эргодической теории наряду с перемешиванием рассматривают родственные свойства – кратное перемешивание и слабое перемешивание (см. Xалмош. 1959^[1]; последнее в старой литературе часто называли перемешиванием в широком смысле, или, короче, просто перемешиванием, а о перемешивании говорили как о перемешивании в сильном смысле). Рассматривают также свойство, промежуточное между перемешиванием и слабым перемешиванием (см. Furstenberg. 1978^[2]). Все эти свойства сильнее эргодичности.

Имеется аналог перемешивания для систем с бесконечной инвариантной мерой (см. Krengel. 1969^[3]).