Особая алгебра Ли

Осо́бая а́лгебра Ли, простая алгебра Ли, не являющаяся классической. Над алгебраически замкнутым полем нулевой характеристики существует всего 5 особых алгебр Ли: ${\displaystyle E_{6}}$, ${\displaystyle E_{7}}$, ${\displaystyle E_{8}}$, ${\displaystyle F_{4}}$ и ${\displaystyle G_{2}}$ размерностей 78, 133, 248, 52 и 14 соответственно. Индексы в обозначениях равны рангам этих алгебр Ли. Простейшие линейные представления этих особых алгебр Ли имеют размерности 27, 56, 248, 26 и 7 соответственно. Алгебра ${\displaystyle G_{2}}$ есть алгебра дифференцирований алгебры Кэли – Диксона, а ${\displaystyle F_{4}}$ – алгебра дифференцирований единственной особой йордановой алгебры, которую можно представить как алгебру эрмитовых матриц третьего порядка над алгеброй Кэли – Диксона. Алгебра ${\displaystyle E_{6}}$ есть линейная оболочка дифференцирований и умножений на элементы особой йордановой алгебры. Алгебры ${\displaystyle E_{7}}$ и ${\displaystyle E_{8}}$ и формы всех особых алгебр Ли над алгебраически незамкнутыми полями также связаны с алгеброй Кэли – Диксона. Различные модели особых алгебр Ли получаются при рассмотрении их градуировок посредством циклических групп. Связные группы Ли, соответствующие особым алгебрам Ли, называются особыми группами Ли и часто обозначаются теми же буквами. Например, комплексная группа ${\displaystyle G_{2}}$ – это группа автоморфизмов алгебры Кэли – Диксона над ${\displaystyle \mathbb {C} }$; комплексная группа ${\displaystyle F_{4}}$ – это группа автоморфизмов особой йордановой алгебры над ${\displaystyle \mathbb {C} }$.