Обратная задача Стефана

Обра́тная зада́ча Сте́фана, задача, заключающаяся в том, чтобы по заданному закону движения границы раздела фаз (см. в статье Задача Стефана) восстановить закон изменения граничных условий или коэффициентов уравнения. Например, найти поток ${\displaystyle q(t)=\partial u(0,t)/\partial x}$ из условий:

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=a^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}},\quad 0<x<\xi (t),\quad 0<t\leqslant T}$,

${\displaystyle u(x,0)=\varphi (x),\quad 0\leqslant x\leqslant \xi _{0};\quad u(\xi (t)-0,t)=\mu (t)}$,

${\displaystyle \gamma (t){\frac {d\xi (t)}{dt}}=-{\frac {\partial u(\xi (t)-0,t)}{\partial x}};\quad \xi (0)=\xi _{0}>0}$,

где ${\displaystyle \varphi (x)}$, ${\displaystyle \mu (t)}$, ${\displaystyle \gamma (t)\geqslant \gamma _{0}>0}$, ${\displaystyle \xi (t)}$ – заданные функции. Для приближённого решения такой задачи часто используется вариационный подход (^[1]).