Множители суммируемости

Мно́жители сумми́руемости, числовые множители ${\displaystyle \lambda _{n}}$ (для членов ряда), преобразующие ряд

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }u_{n}}$ (1),

суммируемый методом суммирования ${\displaystyle A}$, в ряд

${\displaystyle }$
${\displaystyle }$
${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\lambda _{n}u_{n}}$ (2),

суммируемый методом ${\displaystyle B}$. В этом случае множители ${\displaystyle \lambda _{n}}$ называются множителями суммируемости типа ${\displaystyle (A,B)}$. Например, числа ${\displaystyle \lambda _{n}=1/(n+1)^{s}}$ являются множителями суммирования типа ${\displaystyle {\bigl (}(c,k),(c,k-s){\bigr )}}$ для методов суммирования Чезаро при ${\displaystyle 0<s<k+1}$ (см. Харди. 2009^[1]).

Основной задачей теории множителей суммируемости является отыскание условий, при которых числа ${\displaystyle \lambda _{n}}$ будут множителями суммируемости того или иного типа. Точнее этот вопрос формулируется так: если ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ – два класса рядов, то каковы должны быть условия на числа ${\displaystyle \lambda _{n}}$, чтобы для каждого ряда (1) из класса ${\displaystyle X}$ ряд (2) принадлежал классу ${\displaystyle Y}$? Возникновение теории множителей суммируемости восходит к следующей теореме Дедекинда – Адамара: ряд (2) сходится для любого сходящегося ряда (1) тогда и только тогда, когда

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\mid \Delta \lambda _{n}\mid <\infty }$,

где ${\displaystyle \Delta \lambda _{n}=\lambda _{n}-\lambda _{n+1}}$. Имеется обобщение этой теоремы со сходимости на суммируемость методом Чезаро.