Метод исчерпывания

Ме́тод исче́рпывания, метод доказательства, применявшийся математиками древности при определении площадей и объёмов.

Одна из типичных схем доказательств при помощи метода исчерпывания может быть изложена в современных обозначениях следующим образом. Для определения значения неизвестной величины ${\displaystyle A}$ можно построить некоторую последовательность величин ${\displaystyle C_{1},C_{2},\ldots ,C_{n},\ldots }$ такую, что

${\displaystyle C_{n}<A}$ (1)

для всех ${\displaystyle n}$, и указать величину ${\displaystyle B}$ такую, что

${\displaystyle C_{n}<B}$ (2)

для всех ${\displaystyle n}$. При этом последовательность ${\displaystyle C_{1},C_{2},\ldots ,C_{n},\ldots }$ и величина ${\displaystyle B}$ должны быть такими, что справедливы неравенства

${\displaystyle K(A-C_{n})<D,}$ (3)

${\displaystyle K(B-C_{n})<D}$ (4)

при любом целом ${\displaystyle K}$ для достаточно больших ${\displaystyle n}$, где ${\displaystyle D}$ – постоянная величина. В этом случае ${\displaystyle A=B}$.

С современной точки зрения для перехода от неравенств (3) и (4) к равенству ${\displaystyle A=B}$ достаточно заметить, что в силу условий ${\displaystyle (1)}$ – ${\displaystyle (4)}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }(A-C_{n})=0,\lim _{n\to \infty }(B-C_{n})=0,}$
${\displaystyle A=\lim _{n\to \infty }C_{n}=B.}$

Математики древности, не располагавшие теорией пределов, обращались к доказательству от противного и доказывали невозможность каждого из неравенств ${\displaystyle A<B}$, ${\displaystyle B<A}$. Чтобы опровергнуть первое из них, при помощи аксиомы Евдокса – Архимеда (она состоит в том, что для любых положительных величин ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ таких, что ${\displaystyle a<b}$, существует целое число ${\displaystyle m}$ такое, что ${\displaystyle ma>b}$) устанавливали, что для ${\displaystyle R=B-A}$ существует такое ${\displaystyle K}$, что ${\displaystyle KR>D}$, и в силу условия (1) получали неравенства

${\displaystyle K(B-C_{n})>K(B-A)>D}$,

что противоречит ${\displaystyle (4)}$. Аналогично опровергалось другое предположение и оставалось только принять равенство ${\displaystyle A=B}$.

Введение метода исчерпывания вместе с лежащей в его основе аксиомой приписывается Евдоксу Книдскому. Этим методом широко пользовался Евклид, и с особенным искусством и разнообразием – Архимед. Например, для определения площади сегмента, заключённого между параболой и пересекающей её прямой (рис.), Архимед строил площади ${\displaystyle C_{1},C_{2},\ldots ,C_{n},\ldots }$, «исчерпывающие» при их постепенном нарастании эту площадь. При этом

${\displaystyle C_{2}=C_{1}+{\frac {1}{4}}C_{1},}$
${\displaystyle C_{3}=C_{1}+{\frac {1}{4}}C_{1}+{\frac {1}{16}}C_{1},}$
${\displaystyle C_{n}=C_{1}+{\frac {1}{4}}C_{1}+...+{\frac {1}{4^{n-1}}}C_{1},....}$

Вместо того чтобы прибегнуть к предельному переходу

${\displaystyle A=\lim _{n\to \infty }C_{n}=\left(1+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{16}}+\ldots \right)C_{1}={\frac {4}{3}}C_{1}}$,

Архимед с помощью геометрических соображений доказал, что при любом ${\displaystyle n}$ справедливо неравенство ${\displaystyle A-C_{n}<C_{1}/4^{n-1}}$, для величины ${\displaystyle B=4C_{1}/3}$ установил, что

${\displaystyle B-C_{n}={\frac {1}{3\cdot 4^{n-1}}}C_{1}}$,

и, следуя изложенному выше, доказал, что ${\displaystyle A=B=4C_{1}/3}$.