Метод Ромберга

Ме́тод Ро́мберга (правило Ромберга), метод вычисления определённого интеграла, основанный на экстраполяции Ричардсона. Пусть вычисляется значение ${\displaystyle I}$ некоторого функционала, при этом вычисляемое приближённое значение ${\displaystyle T(h)}$ зависит от параметра ${\displaystyle h}$, так что в результате вычисления получается приближённое равенство ${\displaystyle I\cong T(h)}$. Пусть известна информация о поведении разности ${\displaystyle I-T(h)}$ как функции от ${\displaystyle h}$, а именно:

${\displaystyle I-T(h)=\alpha h^{m},}$ (1)

где ${\displaystyle m}$ – натуральное число и ${\displaystyle \alpha }$ зависит от приближаемого функционала и той функции, на которой он вычисляется, от способа приближения и (слабо) от ${\displaystyle h}$. Если наряду с ${\displaystyle T(h)}$ вычислено ${\displaystyle T(2h)}$, то способ Ричардсона даёт для ${\displaystyle I}$ приближение

${\displaystyle I\cong {\frac {2^{m}T(h)-T(2h)}{2^{m}-1}}.}$ (2)

Это приближение тем лучше, чем слабее ${\displaystyle \alpha }$ из равенства ${\displaystyle (1)}$ зависит от ${\displaystyle h}$. В частности, если ${\displaystyle \alpha }$ от ${\displaystyle h}$ не зависит, то в ${\displaystyle (2)}$ имеет место точное равенство.

Метод Ромберга применяется к вычислению интеграла

${\displaystyle I=\int _{0}^{1}f(x)\,dx}$.

Промежуток ${\displaystyle [0,1]}$ взят для простоты записи, он может быть любым конечным. Пусть

${\displaystyle T_{k0}{\overset {\rm {def}}{=}}2^{-k-1}{\Big [}f(0)+2\sum _{j=1}^{2^{k}-1}f(j2^{-k})+f(1){\Big ]},}$ (3)

${\displaystyle k=0,1,2,\dots }$.

Вычисления в методе Ромберга сводятся к составлению следующей таблицы:

${\displaystyle {\begin{matrix}T_{00}&T_{01}&T_{02}&\\dots&T_{0,n-1}&T_{0n}\\T_{10}&T_{11}&T_{12}&\\dots&T_{1,n-1}&\\\\\dots &\\dots&\\dots&\\dots&\\&\\\\T_{n-2,0}&T_{n-2,1}&T_{n-2,2}&\\&\\&\\\\T_{n-1,0}&T_{n-1,1}&\\&\\&\\&\\\\T_{n0},&\\&\\&\\&\\&\\\end{matrix}}}$

где первый столбец состоит из квадратурных сумм ${\displaystyle (3)}$ формулы трапеций. Элементы ${\displaystyle (l+2)}$-го столбца получаются из элементов ${\displaystyle (l+1)}$-го столбца по формуле

${\displaystyle T_{k,l+1}={\frac {2^{2l+2}T_{k+1,l}-T_{kl}}{2^{2l+2}-1}},\quad k=0,1,2,\dots ,n-l-1.}$ (4)

При составлении таблицы главная часть вычислительного труда затрачивается на вычисление элементов первого столбца. Элементы следующих столбцов вычисляются чуть сложнее конечных разностей.

Каждый элемент ${\displaystyle T_{kl}}$ таблицы есть квадратурная сумма, приближающая интеграл

${\displaystyle I\cong T_{kl}.}$ (5)

Узлами квадратурной суммы ${\displaystyle T_{kl}}$ являются точки ${\displaystyle j2^{-k-1}}$, ${\displaystyle j=0,1,2,\dots ,2^{k+l}}$, а её коэффициенты – положительные числа. Квадратурная формула ${\displaystyle (5)}$ точна для всех многочленов степени не выше ${\displaystyle 2l+1}$.

В предположении, что подынтегральная функция ${\displaystyle f(x)}$ имеет непрерывную производную порядка ${\displaystyle 2l+2}$ на ${\displaystyle [0,1]}$, разность ${\displaystyle I-T_{kl}}$ имеет представление вида ${\displaystyle (1)}$, в котором ${\displaystyle m=2l+2}$. Отсюда следует, что элементы ${\displaystyle (l+2)}$-гo столбца, вычисляемые по формуле ${\displaystyle (4)}$, являются улучшениями по Ричардсону элементов ${\displaystyle (l+1)}$-гo столбца. В частности, для погрешности квадратурной формулы трапеций справедливо представление

${\displaystyle I-T_{k0}=-{\frac {f''(\xi )}{12}}h^{2},\quad h=2^{-k},\quad \xi \in [0,1],}$

и способ Ричардсона даёт более точное приближение к ${\displaystyle I}$:

${\displaystyle T_{k1}={\frac {4T_{k+1,0}-T_{k0}}{3}},\quad k=0,1,2,\dots ,n-1}$.

${\displaystyle T_{k1}}$ оказывается квадратурной суммой формулы Симпсона, и т. к. для погрешности этой формулы справедливо представление

${\displaystyle I-T_{k1}=-{\frac {f^{(IV)}(\eta )}{180}}h^{4},\quad h=2^{-k-1},\quad \eta \in [0,1],}$

то снова можно воспользоваться способом Ричардсона и т. д.

В методе Ромберга в качестве приближения к ${\displaystyle I}$ берётся ${\displaystyle T_{0n}}$, при этом предполагается, что существует непрерывная производная ${\displaystyle f^{(2n)}(x)}$ на ${\displaystyle [0,1]}$. Ориентировочное представление о точности приближения ${\displaystyle T_{0n}}$ можно получить, сравнивая ${\displaystyle T_{0n}}$ и ${\displaystyle T_{1,n-1}}$.

Впервые метод изложен В. Ромбергом (Romberg. 1955^[1]).