Критерий Стьюдента

Пусть независимые случайные величины ${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}}$ подчиняются нормальному ${\displaystyle N_{1}(a,\sigma ^{2})}$ закону, параметры которого ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ неизвестны, и пусть проверяется сложная гипотеза ${\displaystyle H_{0}:a=a_{0}}$ против сложной альтернативы ${\displaystyle H_{1}:a\neq a_{0}}$. Для решения этой задачи используется критерий Стьюдента, основанный на статистике

${\displaystyle t_{n-1}={\sqrt {n}}\,{\frac {{\overline {X}}-a_{0}}{s}}}$,

где

${\displaystyle {\overline {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}\quad {\text{и}}\quad }$
${\displaystyle }$
${\displaystyle s^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(X-{\overline {X}})^{2}}$

– оценки параметров ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle \sigma ^{2}}$, вычисленные по выборке ${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}}$. При справедливости гипотезы ${\displaystyle H_{0}}$ статистика подчиняется распределению Стьюдента с ${\displaystyle f=n-1}$ степенями свободы, т. е.

${\displaystyle {\mathsf {P}}\{\mid t_{n-1}\mid <t\mid H_{0}\}=2S_{n-1}(t)-1,\quad t>0}$,

где ${\displaystyle S_{f}(t)}$ – функция распределения Стьюдента с ${\displaystyle f}$ степенями свободы. Согласно одновыборочному критерию Стьюдента с уровнем значимости ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle 0<\alpha <0{,}5}$, гипотезу ${\displaystyle H_{0}}$ следует принять, если

${\displaystyle \left|{\sqrt {n}}\,{\frac {{\overline {X}}-a_{0}}{s}}\right|}$
${\displaystyle }$
${\displaystyle <t_{n-1}\left(1-{\frac {\alpha }{2}}\right)}$,

где ${\displaystyle t_{n-1}\left(1-\alpha /2\right)}$ – квантиль уровня ${\displaystyle 1-\alpha /2}$ распределения Стьюдента с ${\displaystyle f=n-1}$ степенями свободы, т. е. ${\displaystyle t_{n-1}\left(1-\alpha /2\right)}$ – решение уравнения ${\displaystyle S_{n-1}(t)=1-\alpha /2}$. Напротив, если

${\displaystyle \left|{\sqrt {n}}\,{\frac {{\overline {X}}-a_{0}}{s}}\right|}$
${\displaystyle }$
${\displaystyle \geqslant t_{n-1}\left(1-{\frac {\alpha }{2}}\right)}$,

то согласно критерию Стьюдента уровня ${\displaystyle \alpha }$ проверяемую гипотезу ${\displaystyle H_{0}:a=a_{0}}$ следует отвергнуть и принять конкурирующую гипотезу ${\displaystyle H_{1}:a\neq a_{0}}$.

Пусть ${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots X_{n}}$ и ${\displaystyle Y_{1},Y_{2},\ldots ,Y_{m}}$ – взаимно независимые нормально распределённые случайные величины, имеющие одинаковую, но неизвестную дисперсию ${\displaystyle \sigma ^{2}}$, и пусть

${\displaystyle }$
${\displaystyle {\mathsf {E}}X_{1}={\mathsf {E}}X_{2}=\ldots ={\mathsf {E}}X_{n}=a_{1},}$
${\displaystyle }$
${\displaystyle {\mathsf {E}}Y_{1}={\mathsf {E}}Y_{2}=\ldots ={\mathsf {E}}Y_{m}=a_{2},}$
${\displaystyle }$

причём параметры ${\displaystyle a_{1}}$ и ${\displaystyle a_{2}}$ тоже неизвестны (часто говорят, что имеются две независимые нормальные выборки). Далее, пусть проверяется гипотеза ${\displaystyle H_{0}:a_{1}=a_{2}}$ против альтернативы ${\displaystyle H_{1}:a_{1}\neq a_{2}}$. В этом случае как проверяемая гипотеза ${\displaystyle H_{0}}$, так и конкурирующая гипотеза ${\displaystyle H_{1}}$ являются сложными. По наблюдениям ${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots X_{n}}$ и ${\displaystyle Y_{1},Y_{2},\ldots ,Y_{m}}$ можно вычислить оценки

${\displaystyle {\overline {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}\quad {\text{и}}\quad }$
${\displaystyle }$
${\displaystyle {\overline {Y}}={\frac {1}{m}}\sum _{j=1}^{m}Y_{j}}$

для неизвестных математических ожиданий ${\displaystyle a_{1}}$ и ${\displaystyle a_{2}}$, а также оценки

${\displaystyle s_{1}^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\overline {X}})^{2}}$
${\displaystyle }$
${\displaystyle \quad {\text{и}}\quad }$
${\displaystyle }$
${\displaystyle s_{2}^{2}={\frac {1}{m-1}}\sum _{j=1}^{m}(Y_{j}-{\overline {Y}})^{2}}$

для неизвестной дисперсии ${\displaystyle \sigma ^{2}}$. Далее, пусть

${\displaystyle s^{2}={\frac {1}{n+m-2}}\left[(n-1)s_{1}^{2}+(m-1)s_{2}^{2}\right]}$,

тогда при справедливости гипотезы ${\displaystyle H_{0}}$ статистика

${\displaystyle t_{n+m-2}={\dfrac {{\overline {X}}-{\overline {Y}}}{s{\sqrt {1/n+1/m}}}}}$

подчиняется распределению Стьюдента с ${\displaystyle f=n+m-2}$ степенями свободы. Именно этот факт и лежит в основе двухвыборочного критерия Стьюдента, предназначенного для проверки ${\displaystyle H_{0}}$ против ${\displaystyle H_{1}}$. Согласно двухвыборочному критерию Стьюдента уровня ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle 0<\alpha <0{,}5}$, гипотеза ${\displaystyle H_{0}}$ принимается, если

${\displaystyle \mid t_{n+m-2}\mid <t_{n+m-2}(1-\alpha /2)}$,

где ${\displaystyle t_{n+m-2}(1-\alpha /2)}$ – квантиль уровня ${\displaystyle 1-\alpha /2}$ распределения Стьюдента с ${\displaystyle f=n+m-2}$ степенями свободы. Если же

${\displaystyle \mid t_{n+m-2}\mid \geqslant t_{n+m-2}(1-\alpha /2)}$,

то, согласно критерию Стьюдента уровня ${\displaystyle \alpha }$, гипотеза ${\displaystyle H_{0}}$ отвергается в пользу ${\displaystyle H_{1}}$.