Колеблющееся решение

Коле́блющееся реше́ние, решение дифференциального уравнения

${\displaystyle x^{(n)}=f\left(t,x,x^{\prime },\ldots ,x^{(n-1)}\right),\quad t\in \left[t_{0},\infty \right),}$ (*)

обладающее свойством: для любого ${\displaystyle t_{1}\geqslant t_{0}}$ найдётся точка ${\displaystyle t_{2}>t_{1}}$, при переходе через которую функция ${\displaystyle x(t)}$ меняет знак. Во многих прикладных задачах возникает вопрос о существовании колеблющегося решения или о колеблемости всех решений уравнения (*). Известно много достаточных условий, при которых уравнение (*) имеет колеблющееся решение (Swanson. 1968^[1]; Хартман. 1970^[2]; Кигурадзе. 1975^[3]). Например, любое нетривиальное решение уравнения ${\displaystyle x''+2\delta x'+\omega ^{2}x=0}$ с постоянными коэффициентами колеблется, если ${\displaystyle \delta ^{2}<\omega ^{2}}$; любое нетривиальное решение уравнения

${\displaystyle x''+p(t)x'+q(t)x=0}$

с ${\displaystyle \omega }$-периодическими коэффициентами колеблется, если

${\displaystyle \int _{0}^{\omega }dt\int _{t}^{t+\omega }q(s)\exp \left(-\int _{s}^{t}p(r)dr\right)\,ds\geqslant -{\frac {1}{2}}\left(1-\exp \int _{0}^{\omega }p(t)dt\right)\int _{0}^{\omega }p(t)\,dt}$

и ${\displaystyle q(t)\not \equiv 0}$ на ${\displaystyle [0,\omega ]}$.

В ряде приложений возникает вопрос о колеблющихся решениях (в определённом смысле) системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Например, в теории регулирования изучают колеблемость относительно заданной гиперплоскости ${\displaystyle \sum _{i=1}^{p}c_{i}x_{i}=0}$ решений ${\displaystyle x(t)=\left(x_{1}(t),\ldots ,x_{n}(t)\right)}$ системы уравнений ${\displaystyle x'=f(t,x)}$, т. е. вопрос о колеблемости функций ${\displaystyle \sigma (t)=\sum _{i=1}^{n}c_{i}x_{i}(t)}$. Изучают также ${\displaystyle [\alpha ,\beta ]}$-колеблющиеся решения, при этом ограниченное решение ${\displaystyle x(t)}$ системы ${\displaystyle x'=f(t,x)}$ называется ${\displaystyle [\alpha ,\beta ]}$-колеблющимся, если функция ${\displaystyle \sigma (t)}$ колеблется и для любого ${\displaystyle t_{1}\geqslant t_{0}}$ найдутся точки ${\displaystyle t_{2}}$ и ${\displaystyle t_{3}}$ такие, что ${\displaystyle t_{1}<t_{2}<t_{3}}$, ${\displaystyle \sigma \left(t_{2}\right)<\alpha }$, ${\displaystyle \sigma \left(t_{3}\right)>\beta }$, причём ${\displaystyle \alpha <0<\beta }$. Для системы (*) существуют и другие определения колеблемости решений.</t_{2}<t_{3}<></math>