Когерентность колебаний и волн

Когере́нтность колеба́ний и волн (от лат. cohaerens – находящийся в связи), коррелированность (согласованность) колебаний или волн, в том числе случайных, протекающих в различных точках и в различные моменты времени, позволяющая наблюдать при их сложении интерференционную картину. Колебания полностью когерентны при постоянной разности фаз между ними. При разности фаз, флуктуирующей в пределах ${\displaystyle 2\pi }$ за время наблюдения, колебания можно считать некогерентными.

Понятие «когерентность» применялось сначала к волнам оптического диапазона, однако когерентность характерна для волн любой природы, для которых выполняется принцип суперпозиции (электромагнитных волн любого диапазона, волн вероятности в квантовой механике, упругих волн, волн в плазме и др.).

Пространственно-временнóе изменение поля обычно измеряется как усреднённый по времени сигнал с квадратичного детектора, а степень связанности (согласованности) полей в различных пространственно-временны́х точках количественно характеризуется корреляционными функциями различных порядков (обычно чётных). Вид корреляционных функций зависит от природы волн. Скалярные волны с напряжённостью поля ${\displaystyle \mathrm {E} ({\boldsymbol {r}},t)={\text{Re}}[u({\boldsymbol {r}},t)]}$, где ${\displaystyle u({\boldsymbol {r}},t)}$ – комплексная амплитуда, характеризуются скалярными корреляционными функциями порядка ${\displaystyle 2n}$:

${\displaystyle G^{(2n)}({\boldsymbol {r}}_{1},t_{1},\ldots ,{\boldsymbol {r}}_{n},t_{n};{\boldsymbol {r}}_{n+1},t_{n+1},\ \ldots ,{\boldsymbol {r}}_{2n},t_{2n})=\langle {u^{*}}({\boldsymbol {r}}_{1},t_{1})\ldots u^{*}({\boldsymbol {r}}_{n},t_{n})u({\boldsymbol {r}}_{n+1},t_{n+1})\ldots u({\boldsymbol {r}}_{2n},t_{2n})\rangle }$,

где ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}_{k},t_{k}}$ – пространственно-временны́е координаты (${\displaystyle k=1,2,\ldots 2n}$), звёздочка означает комплексное сопряжение. Для векторных полей корреляционная функция является тензором второго ранга. Угловые скобки означают усреднение по ансамблю реализаций случайного процесса ${\displaystyle u({\boldsymbol {r}},t)}$. В расчётах обычно используют двухточечную функцию взаимной корреляции ${\displaystyle G^{(2)}({\boldsymbol {r}}_{1},t_{1};{\boldsymbol {r}}_{2},t_{2})}$, среднюю интенсивность волны ${\displaystyle I({\boldsymbol {r}},t)=G^{(2)}({\boldsymbol {r}},t;{\boldsymbol {r}},t)}$, корреляционную функцию интенсивностей ${\displaystyle G^{(4)}({\boldsymbol {r}}_{1},t_{1},{\boldsymbol {r}}_{2},t_{2};{\boldsymbol {r}}_{1},t_{1},{\boldsymbol {r}}_{2},t_{2})}$. Наиболее просто вычисляются корреляционные функции поля для источников, имеющих малую угловую расходимость и состоящих из независимых элементарных излучателей.

Если полное волновое поле образовано суммой полей от двух источников: ${\displaystyle u({\boldsymbol {r}},t)=u({\boldsymbol {r}}_{1},t_{1})+u({\boldsymbol {r}}_{2},t_{2})}$, где связь между точками ${\displaystyle ({\boldsymbol {r}},t),({\boldsymbol {r}}_{1},t_{1})}$ и ${\displaystyle ({\boldsymbol {r}}_{2},t_{2})}$ определяется геометрией эксперимента, то сигнал с квадратичного детектора в точке наблюдения ${\displaystyle {\boldsymbol {r}},t}$ равен:

${\displaystyle \langle \mid u^{2}\mid \rangle =I({\boldsymbol {r}}_{1},t_{1})+I({\boldsymbol {r}}_{2},t_{2})+2{\text{Re}}[G^{(2)}({\boldsymbol {r}}_{1},t_{1},{\boldsymbol {r}}_{2},t_{2})]}$.

Для количественного определения когерентности полей в пространственно-временны́х точках ${\displaystyle ({\boldsymbol {r}}_{1},t_{1})}$ и ${\displaystyle ({\boldsymbol {r}}_{2},t_{2})}$ вводится величина

${\displaystyle \displaystyle \gamma ({\boldsymbol {r}}_{1},t_{1};{\boldsymbol {r}}_{2},t_{2})={\frac {G^{(2)}({\boldsymbol {r}}_{1},t_{1};{\boldsymbol {r}}_{2},t_{2})}{\sqrt {I({\boldsymbol {r}}_{1},t_{1})I({\boldsymbol {r}}_{2},t_{2})}}}}$,

называемая степенью взаимной когерентности. Согласно определению ${\displaystyle \mid \gamma ({\boldsymbol {r}}_{1},t_{1};{\boldsymbol {r}}_{2},t_{2})\mid \leq 1}$. При ${\displaystyle ({\boldsymbol {r}}_{1},t_{1})=({\boldsymbol {r}}_{2},t_{2})}$ величина ${\displaystyle \mid \gamma \mid =1}$. При условии ${\displaystyle I({\boldsymbol {r}}_{1},t_{1})=I({\boldsymbol {r}}_{2},t_{2})}$ относительный контраст интерференционной картины

${\displaystyle K=(I_{\text{макс}}-I_{\text{мин}})/(I_{\text{макс}}+I_{\text{мин}})}$

совпадает с ${\displaystyle \mid \gamma \mid }$. Характерный масштаб ${\displaystyle \tau _{0}}$ спадания функции ${\displaystyle \mid \gamma ({\boldsymbol {r}},t;{\boldsymbol {r}},t+\tau )\mid }$ по ${\displaystyle \tau =t_{2}-t_{1}}$ есть время когерентности, а величина ${\displaystyle c\tau _{0}}$ – длина когерентности (${\displaystyle c}$ – скорость света).

Смещение волнового пучка с узким угловым спектром, близкого к плоской волне, в поперечном направлении приводит к уменьшению степени когерентности. Характерный масштаб ${\displaystyle r_{0}}$ уменьшения степени когерентности называется поперечным радиусом когерентности. При распространении волны от протяжённого источника, образованного совокупностью независимых излучателей, поперечный радиус когерентности увеличивается с увеличением расстояния от источника. Величина ${\displaystyle (r_{0})^{2}c\tau _{0}}$ есть объём когерентности; в его пределах случайная фаза поля меняется менее чем на ${\displaystyle \pi }$ и колебания частично когерентны.

Понятие «когерентность», основанное на сохранении фазовых соотношений между квантовомеханическими амплитудами вероятности, наряду с понятием интерференции состояний широко используется также в квантовой механике, квантовой оптике. В этом случае корреляционные функции строятся таким же образом, однако ${\displaystyle u^{*}}$ заменяют на оператор рождения фотона ${\displaystyle {\hat {E}}^{+}}$, ${\displaystyle u}$ – на оператор уничтожения фотона ${\displaystyle {\hat {E}}}$, а сама корреляционная функция становится оператором, который действует на вектор состояния поля.

При описании динамики резонансных переходов в атомах или молекулах под действием коротких световых импульсов длительностью менее характерного времени релаксации населённостей уровней также учитывается когерентность взаимодействия. При этом можно наблюдать когерентные процессы – оптические нутации, затухание свободной поляризации, оптическое эхо, самоиндуцированную прозрачность (см. Нелинейная оптика).

Создание лазеров, генерирующих сверхкороткие световые импульсы (длительностью единицы – сотни фемтосекунд), позволило получать широкополосные поля с высокой степенью когерентности, которые описываются корреляционными функциями высших порядков.