Интеграл Шварца

Интегра́л Шва́рца, зависящий от параметра интеграл, дающий решение задачи Шварца о выражении аналитической функции ${\displaystyle f(z)=u(z)+iv(z)}$ в круге ${\displaystyle D}$ по граничным значениям её действительной (или мнимой) части ${\displaystyle u}$ на граничной окружности ${\displaystyle C}$ (^[1]).

Пусть на единичной окружности ${\displaystyle C=\left\{z:z=e^{i\varphi },0<\varphi <2\pi \right\}}$ дана непрерывная действительная функция ${\displaystyle u(\varphi )}$. Тогда интегральные формулы Шварца, выражающие аналитическую функцию ${\displaystyle f(z)=u(z)+iv(z)}$, граничные значения действительной части которой совпадают с ${\displaystyle u(\varphi )}$ [или граничные значения мнимой части совпадают с ${\displaystyle v(\varphi )}$], имеют вид

${\displaystyle {\begin{aligned}f(z)&=Su(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}u(t){\frac {t+z}{t-z}}{\frac {dt}{t}}+ic=\\&={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }{\frac {e^{i\varphi }+re^{i\theta }}{e^{i\varphi }-re^{i\theta }}}u(\varphi )\,d\varphi +ic,\\f(z)&={\frac {1}{2\pi }}\int _{C}v(t){\frac {t+2}{t-z}}{\frac {dt}{t}}+c_{1}={\frac {i}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }{\frac {e^{i\varphi }+re^{i\theta }}{e^{i\varphi }-re^{i\theta }}}v(\varphi )\,d\varphi +c_{1}.\end{aligned}}}$ (*)

где ${\displaystyle z=re^{i\theta }}$, ${\displaystyle t=e^{i\varphi }}$, ${\displaystyle c}$ и ${\displaystyle c_{1}}$ – произвольные действительные постоянные. Интеграл Шварца ${\displaystyle (*)}$ тесно связан с интегралом Пуассона. Выражение

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\cdot {\frac {e^{i\varphi }+re^{i\theta }}{e^{i\varphi }-re^{i\theta }}}}$

часто называется ядром Шварца, а интегральный оператор ${\displaystyle S}$, фигурирующий в первой формуле ${\displaystyle (*)}$, – оператором Шварца. Эти понятия обобщаются и на области произвольного вида комплексной плоскости (^[2]). Интеграл Шварца и его обобщения играют важную роль при решении граничных задач теории аналитическиx функций (см. также Гахов. 1977) и исследовании граничных свойств аналитических функций (см. также ^[3]).

При применении интегральных формул ${\displaystyle (*)}$ возникает важный и более трудный вопрос о существовании и выражении граничных значений мнимой части ${\displaystyle v(z)}$ и всей функции ${\displaystyle f(z)}$ по данным граничным значениям действительной части ${\displaystyle u(\varphi )}$ (или граничных значений действительности части ${\displaystyle u(z)}$ и всей функции ${\displaystyle f(z)}$ по данным граничным значениям мнимой части ${\displaystyle v(\varphi )}$). Если данные функции ${\displaystyle u(\varphi )}$ или ${\displaystyle v(\varphi )}$ удовлетворяют на ${\displaystyle C}$ условию Гёльдера, то соответствующие граничные значения ${\displaystyle v(\varphi )}$ или ${\displaystyle u(\varphi )}$ выражаются формулами Гильберта

${\displaystyle v(\varphi )=-{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }u(\alpha )\operatorname {ctg} {\frac {\alpha -\varphi }{2}}\,d\alpha +c,}$
${\displaystyle u(\varphi )={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }v(\alpha )\operatorname {ctg} {\frac {\alpha -\varphi }{2}}\,d\alpha +c_{1},}$

причём входящие в эти формулы интегралы являются сингулярными и существуют в смысле главного значения по Коши (Гахов. 1977).