Интегральный признак сходимости

Интегра́льный при́знак сходи́мости (признак Маклорена – Коши, признак Коши – Маклорена), признак одновременной сходимости числового ряда и несобственного интеграла, определяемых некоторой функцией. Он состоит в следующем. Пусть ${\displaystyle f(x)}$ – вещественная функция, определённая на промежутке ${\displaystyle [1,+\infty )}$, неотрицательная (т. е. ${\displaystyle f(x)\geqslant 0}$ для всех ${\displaystyle x\geqslant 1}$) и монотонно невозрастающая (т. е. ${\displaystyle f(x_{2})\leqslant f(x_{1})}$, если ${\displaystyle x_{2}\geqslant x_{1}}$). Тогда числовой ряд

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }f(n)=f(1)+f(2)+\ldots }$ (1)

сходится в том и только том случае, если сходится несобственный интеграл

${\displaystyle \int \limits _{1}^{\infty }f(x)\,dx.}$ (2)

Для частичных сумм ${\displaystyle S_{m}=f(1)+f(2)+\ldots +f(m)}$ ряда (1) при сделанных предположениях имеет место неравенство

${\displaystyle S_{m+1}-f(1)\leqslant \int \limits _{1}^{m+1}f(x)\,dx\leqslant S_{m},\quad m=1,2,\ldots ,}$ (3)

а для остатка ${\displaystyle r_{m}=\displaystyle \sum _{n=m+1}^{\infty }f(n)}$ ряда (1) справедлива оценка

${\displaystyle \int \limits _{m+1}^{\infty }f(x)\,dx\leqslant r_{m}\leqslant \int \limits _{m}^{\infty }f(x)\,dx,\quad m=1,2,\ldots .}$ (4)

В учебной литературе в формулировке интегрального признака сходимости вместе с монотонностью и неотрицательностью функции ${\displaystyle f(x)}$ иногда дополнительно требуется её непрерывность. Такое требование излишне, поскольку монотонность функции ${\displaystyle f(x)}$ влечёт её интегрируемость на любом отрезке ${\displaystyle [a,b]\subset [1,+\infty )}$; последнее свойство оказывается достаточным для доказательства неравенства (3), из которого легко следует интегральный признак сходимости.

Интегральный признак сходимости позволяет свести исследование сходимости ряда (1) к исследованию сходимости несобственного интеграла (2). Проверка сходимости интеграла (2), а также вычисление интегралов, входящих в неравенства (3) и (4), существенно упрощаются, если для функции ${\displaystyle f(x)}$ удаётся в явном виде найти первообразную ${\displaystyle F(x)}$ на промежутке ${\displaystyle [1,+\infty )}$: тогда сходимость интеграла (2) эквивалентна условию конечности предела ${\displaystyle F(+\infty )=\lim \limits _{x\to +\infty }F(x)}$. Поскольку ${\displaystyle F(x)}$ монотонно не убывает (т. к. функция ${\displaystyle f(x)}$ неотрицательна), конечность значения ${\displaystyle F(+\infty )}$ также эквивалентна ограниченности сверху функции ${\displaystyle F(x)}$. Например, первообразная функции ${\displaystyle f_{\alpha }(x)={\dfrac {1}{x^{\alpha }}}}$ (где ${\displaystyle \alpha }$ – вещественное число) на множестве положительных чисел есть функция

${\displaystyle F_{\alpha }(x)={\begin{cases}\ln x,&{\text{если }}\alpha =1,\\{\dfrac {1}{1-\alpha }}x^{1-\alpha },&{\text{если }}\alpha \neq 1.\end{cases}}}$

которая ограничена сверху в том и только том случае, если ${\displaystyle \alpha >1}$ (и тогда ${\displaystyle F_{\alpha }(+\infty )=0}$). Поэтому ряд

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{\alpha }}}=\sum _{n=1}^{\infty }f_{\alpha }(n)}$

сходится при ${\displaystyle \alpha >1}$ и расходится при ${\displaystyle \alpha \leqslant 1}$.

Впервые интегральный признак сходимости дан в геометрической форме К. Маклореном в «Трактате о флюксиях» (MacLaurin. 1742.^[1] P. 289–290), а впоследствии открыт заново О. Коши, который придал его формулировке современный вид (см. в полном собрании сочинений Коши: Cauchy. 1889^[2]).