Изопериметрическая задача

Изопериметри́ческая зада́ча, одна из основных задач классического вариационного исчисления. Изопериметрическая задача состоит в минимизации функционала:

${\displaystyle J_{0}(y)=\int _{x_{1}}^{x_{2}}f_{0}\left(x,y,y^{\prime }\right)\,dx}$

при ограничениях вида

${\displaystyle }$
${\displaystyle J_{i}(y)=\int _{x_{1}}^{x_{2}}f_{i}\left(x,y,y^{\prime }\right)\,dx=c_{i},\quad f_{i}:\mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} n\rightarrow \mathbb {R} ,}$
${\displaystyle i=1,\ldots ,m,}$
${\displaystyle }$

и некоторых краевых условиях.

Изопериметрическая задача приводится к задаче Лагранжа при помощи введения новых переменных ${\displaystyle z_{i}}$, удовлетворяющих дифференциальным уравнениям

${\displaystyle {\dot {z}}_{i}=f_{i}\left(x,y,y^{\prime }\right),\quad i=1,\ldots ,m}$,

и граничным условиям

${\displaystyle z_{i}\left(x_{1}\right)=0,\quad z_{i}\left(x_{2}\right)=c_{i},\quad i=1,\ldots ,m}$.

Необходимые условия оптимальности изопериметрической задачи имеют тот же вид, что и для простейшей задачи вариационного исчисления относительно функции Лагранжа:

${\displaystyle L\left(x,y,y^{\prime },\lambda _{0},\ldots ,\lambda _{m}\right)=\sum _{i=0}^{m}\lambda _{i}f_{i}\left(x,y,y^{\prime }\right)}$.

Название «изопериметрическая задача» происходит от следующей классической задачи: среди всех замкнутых линий на плоскости с заданным периметром найти линию, которая ограничивает наибольшую площадь.