Знакочередующийся ряд

Знакочереду́ющийся ряд (знакопеременный ряд), числовой ряд, члены которого попеременно положительны и отрицательны. Например, ряд

${\displaystyle u_{1}-u_{2}+u_{3}-u_{4}+...+(-1)^{n-1}u_{n}+\ldots }$,

где ${\displaystyle u_{i},\,i=1,2,\ldots }$ положительны, является знакочередующимся рядом. Если абсолютные величины членов знакочередующегося ряда монотонно убывают ${\displaystyle (u_{n+1}\leqslant u_{n})}$ и стремятся к нулю, то знакочередующийся ряд сходится (признак Лейбница, 1682). В этом случае остаток знакочередующегося ряда

${\displaystyle (-1)^{n}u_{n+1}+(-1)^{n+1}u_{n+2}+\ldots }$

имеет знак своего первого члена и меньше его по абсолютной величине.

Примеры сходящихся знакочередующихся рядов:

${\displaystyle 1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+\ldots +(-1)^{n-1}{\frac {1}{n}}+\ldots ={\text{ln}}\;2}$,

${\displaystyle 1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\ldots +(-1)^{n-1}{\frac {1}{2n-1}}+\ldots ={\frac {\pi }{4}}}$.

Эти ряды сходятся условно, т. е. не сходятся абсолютно.