Деформация алгебраического многообразия

Деформа́ция алгебраи́ческого многообра́зия, включение алгебраического многообразия в семейство алгебраических многообразий. Теория деформации алгебраических многообразий и схем представляет собой алгебраический аналог теории деформаций аналитических структур. Её основными вопросами являются следующие.

Существование подъёма. Дана схема ${\displaystyle X_{0}}$ над полем ${\displaystyle k}$, схема ${\displaystyle S}$, точка ${\displaystyle s_{0}\in S}$ с полем вычетов ${\displaystyle k(s_{0})=k}$. Существует ли плоская ${\displaystyle S}$-схема ${\displaystyle X}$, для которой слой ${\displaystyle X_{s_{0}}}$над точкой ${\displaystyle s_{0}}$ изоморфен ${\displaystyle X_{0}}$? (${\displaystyle S}$-схема ${\displaystyle X}$ называется деформацией, или подъёмом, схемы ${\displaystyle X_{0}}$ над ${\displaystyle S}$.)

Проблема универсальности. Существует ли версальная (соответственно универсальная) деформация схемы ${\displaystyle X_{0}}$, т. е. такая деформация ${\displaystyle M}$ над схемой ${\displaystyle X_{0}}$, что для любой другой деформации ${\displaystyle X\rightarrow S}$ найдётся (соответственно единственный) морфизм ${\displaystyle S\rightarrow M}$, для которого ${\displaystyle X\cong M\times _{M}S}$?

Каждая деформация ${\displaystyle X\rightarrow S}$ схемы ${\displaystyle X_{0}}$ с помощью операции формального пополнения вдоль слоя ${\displaystyle X_{s_{0}}}$ определяет формальную деформацию ${\displaystyle \varkappa }$ над пополнением локального кольца ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{S,s_{0}}}$ схемы ${\displaystyle S}$ в точке ${\displaystyle s_{0}}$, т. е. плоскую формальную схему над ${\displaystyle {\widehat {\mathcal {O}}}_{S,s_{0}}}$ с топологическим пространством ${\displaystyle X_{0}}$.

Формальные аналоги перечисленных выше вопросов формулируются следующим образом:

Существование формальной деформации. Дано полное локальное кольцо ${\displaystyle \Lambda }$ с полем вычетов ${\displaystyle k}$. Существует ли плоская формальная схема над ${\displaystyle \Lambda }$ с топологическим пространством ${\displaystyle X_{0}}$?

Существование формальной схемы модулей. Существует ли формальная версальная (соответственно универсальная) деформация, т. е. плоская формальная схема ${\displaystyle p\colon \varkappa \rightarrow {\mathcal {O}}}$ над полным локальным кольцом ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ с полем вычетов ${\displaystyle k}$ такая, что для любой формальной деформации ${\displaystyle \varkappa ^{\prime }\rightarrow \mathop {\rm {Spec}} \nolimits \ \Lambda }$ имеется (соответственно единственный) гомоморфизм колец ${\displaystyle {\mathcal {O}}\rightarrow \Lambda }$, для которого ${\displaystyle \varkappa ^{\prime }\simeq \varkappa \otimes {\mathcal {O}}\Lambda }$?

Универсальная формальная деформация гладкого многообразия представляет собой алгебраический аналог локального пространства модулей в теории деформации аналитических структур.

Если ${\displaystyle S=\mathop {\rm {Spec}} \nolimits \ R}$, где ${\displaystyle R}$ – локальное артиново (соответственно полное) кольцо с полем вычетов ${\displaystyle k}$, то деформация ${\displaystyle X_{0}}$ над ${\displaystyle S}$ называется инфинитезимальной (соответственно эффективной формальной). В случае, когда ${\displaystyle R}$ – полное локальное кольцо характеристики нуль (например, кольцо векторов Витта), эффективная формальная деформация ${\displaystyle X_{0}}$ называется подъёмом ${\displaystyle X_{0}}$ в характеристику нуль.

Если ${\displaystyle X_{0}}$ – гладкая ${\displaystyle k}$-схема и ${\displaystyle H^{2}(X_{0},\ T_{X_{0}})=0}$, где ${\displaystyle T_{X_{0}}}$ – касательный пучок на ${\displaystyle X_{0}}$, то для любого артинова (соответственно полного) локального кольца существует инфинитезимальная (соответственно формальная) деформация ${\displaystyle X_{0}}$. При этом, если ${\displaystyle H^{1}(X_{0},\ T_{X_{0}})=0}$, то такая деформация единственна с точностью до изоморфизма (см. Grothendieck. 1971^[1]). Аналогичные утверждения для необязательно гладких схем даются в терминах кокасательного комплекса (см. Rim. 1972^[2]; Mumford. 1971^[3]). Вопрос о существовании эффективной формальной деформации изучается с помощью рассмотрения функтора ${\displaystyle D_{X_{0}}}$ из категории ${\displaystyle C_{k}}$ артиновых локальных колец с полем вычетов ${\displaystyle k}$ в категорию множеств, который сопоставляет каждому объекту ${\displaystyle R}$ из ${\displaystyle C_{k}}$ множество всех инфинитезимальных деформаций ${\displaystyle X_{0}}$ над ${\displaystyle R}$. Универсальная формальная деформация ${\displaystyle X_{0}}$ существует в том и только в том случае, когда функтор является пропредставимым функтором. При этом пропредставляющий объект – полное локальное кольцо ${\displaystyle M_{X_{0}}}$ с полем вычетов ${\displaystyle k}$ – называется формальной схемой модулей ${\displaystyle k}$-схемы ${\displaystyle X_{0}}$. Формальная версальная деформация ${\displaystyle {\widetilde {\rho }}:\ {\widetilde {\varkappa }}\rightarrow {\widetilde {M}}_{X_{0}}}$ существует, если ${\displaystyle X_{0}}$ собственна над ${\displaystyle k}$ или ${\displaystyle X_{0}}$ есть аффинная схема конечного типа над ${\displaystyle k}$ с изолированными особыми точками (см. И. В. Долгачев, В. А. Исковских; Mumford D.). Версальная формальная деформация является универсальной, если для любого сюръективного гомоморфизма ${\displaystyle R^{\ \prime }\rightarrow R}$ локальных артиновых колец и деформации ${\displaystyle X^{\ \prime }\rightarrow R^{\ \prime }}$ из ${\displaystyle D_{X_{0}}(R^{\ \prime })}$ естественное отображение групп автоморфизмов

${\displaystyle \mathop {\rm {Aut}} \nolimits _{R^{\ \prime }}(X^{\ \prime }\mid X_{0})\rightarrow \mathop {\rm {Aut}} \nolimits _{R}(X_{R^{\ \prime }}^{\ \prime }\otimes R\mid X_{0})}$

является сюръективным. Это условие выполняется, например, если ${\displaystyle X_{0}}$ – гладкая схема и ${\displaystyle H^{0}(X_{0},\ T_{X_{0}})=0}$. При этом, если ${\displaystyle H^{2}(X_{0},\ T_{X_{0}})=0}$, то формальная схема модулей ${\displaystyle M_{X_{0}}}$ является полным регулярным локальным кольцом, изоморфным кольцу ${\displaystyle k[[t_{1}\dots t_{m}]]}$ формальных степенных рядов от ${\displaystyle m}$ переменных. Число ${\displaystyle m}$ равно в этом случае ${\displaystyle \mathop {\rm {dim}} \nolimits _{k}\ H^{1}(X_{0},\ T_{X_{0}})}$ и называется числом локальных модулей схемы ${\displaystyle X_{0}}$. В общем случае ${\displaystyle \mathop {\rm {dim}} \nolimits _{k}\ H^{1}(X_{0},\ T_{X_{0}})}$ равна размерности касательного пространства к ${\displaystyle M_{X_{0}}}$ и ${\displaystyle {\widetilde {M}}_{X_{0}}}$, т. е. размерности ${\displaystyle \mathop {\rm {dim}} \nolimits _{k}\ m/m^{2}}$, где ${\displaystyle m}$ – максимальный идеал соответствующего${\displaystyle }$
${\displaystyle }$ локального кольца, а

${\displaystyle \mathop {\rm {dim}} \nolimits _{k}\ H^{1}(X_{0},\ T_{X_{0}})-\mathop {\rm {dim}} \nolimits \ M_{X_{0}}\leqslant \mathop {\rm {dim}} \nolimits _{k}\ H^{2}(X_{0},\ T_{X_{0}})}$.

Наличие нильпотентных элементов в формальной схеме модулей представляет довольно частое явление.

Если версальная (соответственно универсальная) формальная деформация ${\displaystyle \varkappa \rightarrow M_{X_{0}}}$ алгебраизуема, т. е. существует плоская схема над ${\displaystyle M_{X_{0}}}$, формальное пополнение которой вдоль замкнутого слоя изоморфно ${\displaystyle \varkappa }$, то соответствующая алгебраизация называется локальной версальной (соответственно универсальной) деформацией ${\displaystyle k}$-схемы ${\displaystyle X_{0}}$. Если ${\displaystyle X_{0}}$ проективна и ${\displaystyle H^{2}(X_{0},\ T_{X_{0}})=0}$, то алгебраизация существует. Например, для полной гладкой кривой рода ${\displaystyle g>1}$ существует локальная универсальная деформация над кольцом ${\displaystyle k[[t_{1}\dots t_{3g-3}]]}$. В общем случае, для каждой поляризации ${\displaystyle \alpha }$ многообразия ${\displaystyle X_{0}}$ существует максимальная замкнутая подсхема в формальной схеме модулей ${\displaystyle M_{X_{0},\ \alpha }\subset M_{X_{0}}}$ такая, что ${\displaystyle p^{-1}(M_{X_{0},\alpha })}$ алгебраизуема. Коразмерность ${\displaystyle M_{X_{0},\alpha }}$ в ${\displaystyle M_{X_{0}}}$ не превышает ${\displaystyle \mathop {\rm {dim}} \nolimits _{k}\ H^{2}(X_{0},\ {\mathcal {O}}_{X_{0}})}$. Например, если ${\displaystyle X_{0}}$ – алгебраическая ${\displaystyle K3}$-поверхность, ${\displaystyle M_{X_{0}}}$ регулярна размерности 20, а для любой поляризации ${\displaystyle \alpha }$ подсхема ${\displaystyle M_{X_{0},\alpha }}$ регулярна размерности 19.

Теорема Артина об аппроксимации применяется для алгебраизации формальной схемы модулей. Существует схема ${\displaystyle S}$ конечного типа над ${\displaystyle k}$ и точка ${\displaystyle s_{0}\in S}$ с полем вычетов ${\displaystyle k}$ такая, что пополнение ${\displaystyle {\widehat {\mathcal {O}}}_{S,s_{0}}\simeq {\widetilde {M}}_{X_{0}}}$, и существует деформация ${\displaystyle X_{0}}$ над ${\displaystyle S}$, индуцирующая версальную локальную деформацию ${\displaystyle {\widetilde {p}}:\ {\widetilde {\varkappa }}\rightarrow {\widetilde {M}}_{X_{0}}}$. Схема ${\displaystyle S}$ определена однозначно с точностью до локального изоморфизма в этальной топологии (см. Артин. 1970^[4]). Относительно деформации особых многообразий и особых точек см. Особая точка алгебраического многообразия. Относительно деформации групповых схем см. Групповая схема.