Группоид

Группо́ид, универсальная алгебра с одной бинарной операцией. Группоид – самый широкий класс таких алгебр; группы, полугруппы, квазигруппы – всё это группоиды специального вида. Важным понятием для группоида является понятие изотопии операций. Пусть на множестве ${\displaystyle G}$ определены две бинарные операции, обозначаемые${\displaystyle (\cdot )}$ и ${\displaystyle (\circ )}$, они изотопны, если существуют такие три взаимно однозначных отображения ${\displaystyle \alpha ,\beta }$ и ${\displaystyle \gamma }$ множества ${\displaystyle G}$ на себя, что ${\displaystyle a\cdot b=\gamma ^{-1}(\alpha a\circ \beta b)}$ для любых ${\displaystyle a,b\in G}$. Группоид, изотопный квазигруппе, сам является квазигруппой; группоид с единицей, изотопный группе, изоморфен этой группе. Поэтому понятием изотопии в теории групп не пользуются, для групп изотопия совпадает с изоморфизмом.

Группоид с сокращением – это группоид, в котором любое из равенств ${\displaystyle ab=ac}$, ${\displaystyle ba=ca}$ влечёт ${\displaystyle b=c}$ (${\displaystyle a,b,c}$ – элементы группоида). Каждый группоид с сокращением вложим в квазигруппу. Гомоморфный образ квазигруппы – группоид с делением, т. е. группоид, в котором уравнения ${\displaystyle ax=b}$ и ${\displaystyle ya=b}$ разрешимы (но не обязательно однозначно).

Множество с одной частичной (т. е. определённой не для всяких пар элементов) бинарной операцией называется частичным группоидом. Каждый частичный подгруппоид свободного частичного группоида свободен.