Архимедова спираль

Архиме́дова спира́ль, плоская трансцендентная кривая, уравнение которой в полярных координатах имеет вид:

${\displaystyle \rho =a\varphi }$.

Архимедова спираль описывается точкой ${\displaystyle M}$, движущейся равномерно по прямой ${\displaystyle d}$, которая вращается вокруг точки ${\displaystyle O}$, принадлежащей этой прямой. В начальный момент движения ${\displaystyle M}$ совпадает с центром вращения ${\displaystyle O}$ прямой (см. рис.). Длина дуги между точками ${\displaystyle M_{1}(\rho _{1},\varphi _{1})}$ и ${\displaystyle M_{2}(\rho _{2},\varphi _{2})}$:

${\displaystyle l={\frac {a}{2}}\left[\varphi {\sqrt {1+\varphi ^{2}}}+\ln(\varphi +{\sqrt {1+\varphi ^{2}}})\right]_{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}}$.

Площадь сектора, ограничиваемого дугой архимедовой спирали и двумя радиус-векторами ${\displaystyle \rho _{1}}$ и ${\displaystyle \rho _{1}}$, соответствующими углам ${\displaystyle \varphi _{1}}$ и ${\displaystyle \varphi _{1}}$:

${\displaystyle S={\frac {\rho _{2}^{3}-\rho _{1}^{3}}{a}}}$.

Архимедова спираль относится к т. н. алгебраическим спиралям. Обобщение архимедовой спирали – неоида, уравнение которой в полярных координатах:

${\displaystyle \rho =a\varphi +l}$.

Архимедова спираль названа по имени Архимеда, изучавшего её свойства.