Аксиомы Пеано

Аксио́мы Пеа́но, система из пяти аксиом для натурального ряда ${\displaystyle N}$ и функции ${\displaystyle S}$ (прибавление ${\displaystyle 1}$) на нём, введённая Дж. Пеано (1889):

${\displaystyle (1)\,0\in N;}$
${\displaystyle (2)\,x\in N\to Sx\in N;}$
${\displaystyle (3)\,x\in N\to Sx\neq 0;}$
${\displaystyle (4)\,x\in N\land y\in N\land Sx=Sy\to x=y;}$
${\displaystyle (5)\,0\in M\land \forall x(x\in M\to Sx\in M)\to N\subseteq M\,{\text{для любого свойства }}M{\text{ (аксиома индукции)}}.}$

В первом варианте вместо ${\displaystyle 0}$ использовалась ${\displaystyle 1}$. Сходные аксиомы независимо предложил Р. Дедекинд (1888). Аксиомы Пеано категоричны, т. е. любые две системы ${\displaystyle (N,S,0)}$ и ${\displaystyle (N',S',0')}$, удовлетворяющие аксиомам Пеано, изоморфны. Изоморфизм определяется функцией ${\displaystyle f(x,x)}$, где

${\displaystyle f(0,0)=0',\quad f(Sx,Sx)=S'f(x,x)}$;

${\displaystyle f(x,Sy)=f(x,y);\quad f(x,y)=0{\text{ для }}y<x}$.

Существование ${\displaystyle f(x,y)}$ для всех пар ${\displaystyle (x,y)}$ и взаимная однозначность при ${\displaystyle x\leq y}$ доказываются по индукции. Аксиомы Пеано позволяют развить теорию чисел, в частности ввести обычные арифметические функции и доказать их свойства. Все аксиомы независимы, однако ${\displaystyle (3)}$ и ${\displaystyle (4)}$ можно объединить в одну:

${\displaystyle x\in N\land y\in N\land x<y\to x\neq y,}$.

Независимость доказывается предъявлением модели, в которой верны все аксиомы, кроме рассматриваемой. Для ${\displaystyle (1)}$ такая модель – натуральный ряд, начиная с единицы; для ${\displaystyle (2)}$ – множество ${\displaystyle N\bigcup \{1/2\}}$, где ${\displaystyle S0=1/2}$, ${\displaystyle S(1/2)=1}$; для ${\displaystyle (3)}$ – множество ${\displaystyle \left\{0\right\}}$; для ${\displaystyle (4)}$ – множество ${\displaystyle \left\{0,1\right\}}$ с ${\displaystyle S0=S1=1}$; для ${\displaystyle (5)}$ – множество ${\displaystyle N\bigcup \{-1\}}$.</y<></math></y></math>

Иногда под арифметикой Пеано понимают систему в языке ${\displaystyle 1}$-го порядка с функциональными символами ${\displaystyle S}$, ${\displaystyle +}$ , ${\displaystyle \cdot }$, состоящую из аксиом

${\displaystyle Sx\neq 0,\quad Sx=Sy\to x=y}$,

определяющих равенств для ${\displaystyle +}$ , ${\displaystyle \cdot }$ и схемы индукции

${\displaystyle A(0)\land \forall x(A(x)\to A(Sx))\to \forall xA(x)}$

(см. Формальная арифметика).