Уравне́ние Яко́би, обыкновенное дифференциальное уравнение 1-го порядка

$$\frac{d y}{d x}=\frac{A x y+B y^2+a x+b y+c}{A x^2+B x y+\alpha x+\beta y+\gamma},$$или, в более симметричной форме,

$$\begin{gathered} \left(a_1 x+b_1 y+c_1\right)(x d y-y d x)+ \\ +\left(a_2 x+b_2 y+c_2\right) d x+\left(a_3 x+b_3 y+c_3\right) d y=0, \end{gathered}$$где все коэффициенты – постоянные числа. Это уравнение, являющееся частным случаем уравнения Дарбу, впервые исследовал К. Якоби (Jacobi. 1842). Уравнение Якоби всегда интегрируется в замкнутой форме применением следующего алгоритма. Сначала непосредственной подстановкой отыскивается по крайней мере одно линейное частное решение

$$y=p x+q.$$Затем делается преобразование переменных

$$\xi=\frac{x}{p x-y+q}, \quad \eta=\frac{y}{p x-y+q},$$в результате чего получается уравнение, приводимое к однородному уравнению.